文档介绍：Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse袁附录2常系数二阶微分方程的齐次通解芈常系数二阶齐次微分方程芄设其中a、w0都是正实数。莁要使二阶微分方程有确定的解,必须知道两个初始条件:初始值y(0)和一阶导数的初始值。羈这里只讨论齐次通解在一些典型的系数值下的特点,不求出解中的待定常数。目的在于避免过多的数学式子,突出对有普遍意义的特征的认识。螅尝试(S为实的或复的常数)是否能为方程的解。肂代入方程可得恒等式:蒁由此得到决定常数S的特征方程:莈该一元二次代数方程的根为:蒇因常数项的值不同,解的形式不同:(无阻尼情况)()薁此时,S是一对共轭虚数:蝿齐次通解为:羅变为常用的三角函数式袄这是一个等幅正弦振荡,w0是自由振荡角频率或谐振角频率。K和q是由初始条件决定的常数。()膀此时,S是一对共轭复数:蚇齐次通解为:薃这是一个衰减振荡。其中,(正实数)是衰减振荡角频率。螀振幅按指数函数衰减,故称a为衰减系数。薁K和q是由初始条件决定的常数。肅这种情况下,系统开始会有正弦振荡,但随时间而衰减,过一段时间后就消失。()螀此时,S是两个负实数:螈袇齐次通解为:莅K1和K2是由初始条件决定的常数。袀系统若受冲击,会无振荡地衰减。腿在文氏电桥正弦波发生器电路中,这是A<1的情况。()膄此时,S是一对重根(相等的负实数):羀现在只得到方程的一个特解,薀设方程的通解为羇代入原方程,得到:羃积分两次,得:肀最后得到通解:羁K1和K2是由初始条件决定的常数。蚈系统若受冲击,仍然不会振荡,会无振荡地衰减。但是临界状态。<0的情况肇上面的讨论,假定了a>=0,系统可能振荡或衰减。膆如果a<0,观察上面解的指数函数部分,发现指数成了正值,是一个随时间增大的因子,这表明系统如有振荡,则是增幅振荡,如无振荡,则是发散的,当然又与a、w0之间的相对大小有关,这里不作详细分析。螄芀在许多情况下,物理系统可以用常系数二阶微分方程描述。对具体的物理系统,自变量和函数代表各自的物理量,数学求解时,将方程整理成与一般形式对应的方程,确定与系数对应的部分,套到上述讨论的情形中,推导出与具体对象相关的有物理意义的结论。蒈对于非齐次的二阶微分方程,求解起来是不容易