文档介绍：:将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积,其中L和U分别是下三角和上三角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时,矩阵A可以分解为A=LU,且分解唯一。其中L是单位下三角矩阵,U是上三角矩阵。:如果矩阵A为n阶对称正定矩阵,则存在一个对角元素为正数的下三角实矩阵L,使得:A=LL^T。当限定L的对角元素为正时,这种分解是唯一的,称为平方根法(Cholesky)分解。:设系数矩阵为三对角矩阵则方程组Ax=f称为三对角方程组。设矩阵A非奇异,A有Crout分解A=LU,其中L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵,记可先依次求出L,U中的元素后,令Ux=y,先求解下三角方程组Ly=f得出y,再求解上三角方程组Ux=y。:首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分,即:A=L+D+U,如图1所示,其中D为对角阵,L为下三角矩阵,U为上三角矩阵。之后确定迭代格式,X=BX+f,如图2所示,其中B称为迭代矩阵,雅克比迭代法中一般记为J。(k=0,1,......)再选取初始迭代向量X,开始逐次迭代。(SOR)它是在GS法基础上为提高收敛速度,采用加权平均而得到的新算法。选取分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵M=(D-),其中>0为可选择的松弛因子,一般当1<<2时称为超松弛。.(第五章****题8)用直接三角分解(杜利特尔(Doolittle)分解)求线性方程组++=9,++=8,++=8的解。2.(第五章****题9)用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中A=,b=.3.(第五章****题10)用改进的平方根法解线性方程组=4.(第六章****题7)用SOR方法解线性方程组(分别取松弛因子ω=,ω=1,ω=)4- =1,-+4-=4,-+4=-=(,1,-).要求当<5×10时迭代终止,.(第六章****题8)用SOR方法解线性方程组(取ω=)5-2+=-12,-+4-2=20,2-3+10=<.(第六章****题9)设有线性方程组Ax=b,其中A为对称正定阵,迭代公式+ω(b-A),k=0,1,2…,试证明当0<ω<时上述迭代法收敛(其中0<(A)).7.(第六章计算实****题1)给出线性方程组Hx=b,其中系数矩阵H为希尔伯特矩阵:Hx=(h)R,h=,i,j=1,2,…,=(1,1,…,1)R,b==6,8,10,分别雅克比迭代法及SOR迭代(ω=1,,):指操作环境和平台:win7系统下MATLABR2009a程序语言:一种类似C语言的程序语言,但比C语言要宽松得多,非常方便。.①直接三角分解()functionx=ZJsanjiao(A,b)[m,n]=size(A);[lu]=lu(A);s=inv(l)*[A,b];x=ones(m,1);fori=m:-1:1h=s(i,m+1);forj=m:-1:1;ifj~=ih=h-x(j)*s(i,j);endendx(i)=h/s(i,i);end②控制台输入代码:>>A=[1/4,1/5,1/6;1/3,1/4,1/5;1/2,1,2];>>b=[9;8;8];>>x=ZJsanjiao(A,b)2.①追赶法()functionx=ZG_SDJ(a,b,c,f)%aÊǶԽÇÏßÔªËØ%bÊǶԽÇÏßÉÏ·½µÄÔªËØ£¬¸öÊý±ÈaÉÙÒ»¸ö%cÊǶԽÇÏßÏ·½µÄÔªËØ£¬¸öÊý±ÈaÉÙÒ»¸ö%fÊdz£ÊýÏîbN=length(a);b=[b,0];c=[0,c];a1=zeros(N,1);b1=zeros(N,1);y=zeros(N,1);x=zeros(N,1);a1(1)=a(1);b1(1)=b(1)/a1(1);y(1)=f(1)/a1(1);forj1=2:Na1(j1)=a(j1)-c(j1)*b1(j1-1);b1(j1)=b(j1)/a1(j1);temp1=f(j1)-c(j1)*y(j1-1);y(j1)=temp1/a1(j1);endj1=N;x(j1)=y(j1);forj1=N-1:-1:1x(j1)=y(j1)-b1(j1)*x(j1+1);end