文档介绍：平面向量的数量积与平面向量应用举例
[知识能否忆起]
一、两个向量的夹角

已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.

向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时,夹角θ=0°;a与b反向时,夹角θ=180°.

如果向量a与b的夹角是90°,则a与b垂直,记作a⊥b.
二、平面向量数量积
,则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,其中θ是a与b的夹角.
规定0·a=0.
当a⊥b时,θ=90°,这时a·b=0.
·b的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
三、向量数量积的性质
,则a·e=e·a.
⊥b⇔a·b=0.
·a=|a|2,|a|=.
θ=.(θ为a与b的夹角)
5.|a·b|≤|a||b|.
四、数量积的运算律
:a·b=b·a.
:(a+b)·c=a·c+b·c.
∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
五、数量积的坐标运算
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则:
·b=a1b1+a2b2.
⊥b⇔a1b1+a2b2=0.
3.|a|=.
θ==.(θ为a与b的夹角)
[小题能否全取]
,b和实数λ,下列选项中错误的是( )
A.|a|= B.|a·b|=|a|·|b|
(a·b)=λa·b D.|a·b|≤|a|·|b|
解析:选B |a·b|=|a|·|b||cos θ|,只有a与b共线时,才有|a·b|=|a||b|,可知B是错误的.
|a|=4,|b|=3,a与b的夹角为120°,则b在a方向上的投影为( )
B.
C.-2 D.-
解析:选D |b|cos θ=3cos 120°=-.
3.(2012·重庆高考)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=( )
A. B.

解析:选B ∵a⊥b,∴a·b=0,即x-2=0,∴x=2.
∴a=(2,1),∴a2=5,b2=5,|a+b|====.
°,|a|=2,|b|=,则向量a和向量b的数量积a·b=________.
解析:a·b=2××=3.
答案:3
|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角θ=________.
解析:∵a·(b-a)=a·b-a2=2,∴a·b=2+a2=3.
∴cos θ===.∴向量a与b的夹角为.
答案:

(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时,表示两向量的有向线段所形成的角,若起点不同,应通过移动,使其起点相同,再观察夹角.
(2)两向量夹角的范围为[0,π],特别当两向量共线且同向时,其夹角为0,共线且反向时,其夹角为π.
(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要注意两向量夹角的范围.

(1)若a,b∈R,且a·b=0,则有a=0或b=0,但a·b=0却不能得出a=0或b=0.
(2)若a,b,c∈R,且a≠0,则由ab=ac可得b=c,但由a·b=a·c及a≠0却不能推出b=c.
(3)若a,b,c∈R,则a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量a,b,c,而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的.
(4)若a,b∈R,则|a·b|=|a|·|b|,但对于向量a,b,却有|a·b|≤|a||b|,等号当且仅当a∥b时成立.
平面向量数量积的运算
典题导入
[例1] (1)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=( )

(2) (2012·浙江高考)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·=________.
[自主解答] (1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3),
所以(8a-b)·c=(6,3)·(3,x)=30.
即18+3x=30,解得x=4.
(2) 如图所示,∵=+,=+MC―→
=-,
∴·=(+)·(-)=2-2=||2-||2=9-25=-16.
[答案] (1)C (2) -16
由题悟法
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a,b的模