2012年全国初中数学联赛试卷.doc

文档介绍：2012年全国初中数学联赛试卷

2012年全国初中数学联赛试卷

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1.(7分)已知,,,那么a,b,c的大小关系是( )

A.
a<b<c
B.
a<c<b
C.
b<a<c
D.
b<c<a

2.(7分)方程x2+2xy+3y2=34的整数解(x,y)的组数为( )

A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

3.(7分)已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为( )

A.
B.
C.
D.

4.(7分)已知实数a,b满足a2+b2=1,则a4+ab+b4的最小值为( )

A.
B.
0
C.
1
D.

5.(7分)若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1,x2满足,则实数p的所有可能的值之和为( )

A.
0
B.
C.
﹣1
D.

6.(7分)由1,2,3,4这四个数字组成四位数(数字可重复使用),要求满足a+c=b+( )

A.
36个
B.
40个
C.
44个
D.
48个

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)
7.(7分)已知互不相等的实数a,b,c满足,则t= _________ .

8.(7分)使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为_________ .

9.(7分)在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则= _________ .

10.(7分)已知实数a,b,c满足abc=﹣1,a+b+c=4,,则a2+b2+c2= _________ .

三、解答题(共3小题)
11.(20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.

12.(25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△:∠BAE=∠ACB.

13.(25分)已知抛物线的顶点为P,与x轴的正半轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,PA是△(0,),若AM∥BC,求抛物线的解析式.

2012年全国初中数学联赛试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1.(7分)已知,,,那么a,b,c的大小关系是( )

A.
a<b<c
B.
a<c<b
C.
b<a<c
D.
b<c<a
考点:
二次根式的混合运算;
专题:
计算题.
分析:
先求出a、b、c的倒数并分母有理化,然后根据一个数的倒数越大,则这个数越小,进行大小比较.
解答:
解:∵a=﹣1,b=﹣,c=﹣2,
∴==+1,==+,===+1=+1,
∵+1<+1<+,
∴0<<<,
因此b<a<c.
故选C.
点评:
本题考查了二次根式的混合运算,实数的大小比较,求差、求商或求倒数是实数大小比较常用的方法,本题想到求倒数,根据比较倒数的大小从而得出原数的大小是解题的关键.

2.(7分)方程x2+2xy+3y2=34的整数解(x,y)的组数为( )

A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
考点:
非一次不定方程(组).2533908
分析:
首先将原方程变形为:(x+y)2+2y2=34,即可得x+y必须是偶数,然后设x+y=2t,可得新方程2t2+y2=17,解此方程即可求得答案.
解答:
解:方程变形得:(x+y)2+2y2=34,
∵34与2y2是偶数,
∴x+y必须是偶数,
设x+y=2t,
则原方程变为:(2t)2+2y2=34,
∴2t2+y2=17,
它的整数解为,
则当y=3,t=2时,x=1;
当y=3,t=﹣2时,x=﹣7;
当y=﹣3,t=2时,x=7;
当y=﹣3,t=﹣2时,x=﹣1.
∴原方程的整数解为:(1,3),(﹣7,3),(7,﹣3),(﹣1,﹣3)共4组.
故选B.
点评:
,解题的关键是将原方程变形为:(x+y)2+2y2=34,由x+y必须是偶数,然后设x+y=2t,从而得新方程2t2+y2=17.

3.(7分)已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与