文档介绍：张量分析(TensorAnalysis)1)熟练运用符号与求和约定;Objectives2)熟练掌握张量以及包括基矢量、度量张量等基本张量的定义;3)熟练掌握张量的运算法则;4)熟练运用张量表示力学的基本方程。,一个矢量(例如力矢量、速度矢量等)在某参考坐标系中,有三个分量;这三个分量的集合,规定了这个矢量;当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态,有9个应力分量,如以直角坐标表示,用矩阵形式列出,则有:这9个分量的集合,规定了一点的应力状态,称为应力张量。当坐标变换时,应力张量的分量按一定的变换法则变换。衷律吓撇朽唆窒陆霸戏囚胜霸划咕譬卒闹够拍氯盅页劝雕凳慕挺尤练辞招张量分析张量分析张量的概念(续)所谓张量是一个物理量或几何量,它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定,当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。张量有不同的阶和结构,这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量;应力张量、应变张量是二阶张量;还有三阶、四阶等高阶张量。张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。采用张量记法表示的方程,在某一坐标系中成立,则在容许变换的其他坐标系中也成立,即张量方程具有不变性。张量是佛克脱()提出(用来表示晶体的应力(张力)状态)。粱坞吹艇骚桌档峨挝恿溢蛔通翁语话嚏爪绸酉豹惜总宰教试镣厌妆保鹿缝张量分析张量分析一、符号与求和约定A)指标变量的集合:表示为:写在字符右下角的指标,例如xi中的i称为下标。写在字符右上角的指标,例如yj中的j称为上标;使用上标或下标的涵义是不同的。用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母,除非作了说明,一般取从1到n的所有整数,其中n称为指标的范围。紧闭枯产附袒疹忠况踞邯树共禽间狮磋肢首挎坏晴区蔷栏稼匆畏公汲踩晌张量分析张量分析B)求和约定若在一项中,同一个指标字母在上标和下标中重复出现,则表示要对这个指标遍历其范围1,2,3,…n求和。这是一个约定,称为求和约定。式中ai,p是常数。这个方程可写成:应用求和约定,则这个方程可写成如下形式:遍历指标的范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。不求和的指标称为自由指标。例:三维空间的平面方程为:雾膳供迢扰肩值千恫等剁透约初叙遍轧话币椒丸榨订涕屈液电散撑铭邦宠张量分析张量分析B)求和约定(续)注:哑指标只是表示求和。在一项中,同一个指标字母的使用不能超过两次。求和约定可以推广到微分公式:设f(x1,x2,···,xn)为n个独立变量x1,x2,···,xn的函数,则它的微分可写成:中i被认为是下标。皆腰丈臂阴势锈稠凭拣族砂胶齿材给什粟虹寻崭蓝掣概贿裤墓献赞赊脚仆张量分析张量分析C)克罗内克(Kronecker)符号克罗内克符号的定义是:克罗内克符号也可写成ij或ij。绥蛙滋彭庐藻角畅测脚孜榔楷粟床性竖爬淖宽粗鼓睛瓜朴禽辈冒嚼贵嚣嘶张量分析张量分析C)克罗内克符号(续)例:空间直角坐标系中,线元矢量长度的平方为:利用克罗内克符号,上式可写成:克罗内克符号的一些常用性质:悸财溢莆加喝氦怖哟必缺奈履安叫辈欲猖纂身知叫驭咏霍自营石抑障闻奠张量分析张量分析D)置换符号置换符号eijk=eijk定义为:i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。当i,j,k是1,2,3的偶置换(123,231,312)当i,j,k是1,2,3的奇置换(213,132,321)当i,j,k的任意二个指标相同抹啪爪渐贫刃瑶迫免运乃魂货瞪援沧钟帮呢嫉迄斑冒捡靶哎绵沪翔皑增瞪张量分析张量分析D)置换符号(续)置换符号主要可用来展开三阶行列式:若以表示行列式中的普遍项,以表示行列式,则上述行列式可写成:顶沤揍贼酷灾鳞棘羌榔耽郴胡辫品驾凶蒙娶壹痊熟香缺迈蜜面集展饱水疆张量分析张量分析