文档介绍：椭球面双曲面抛物面§。相应地,将平面叫做一次曲面。一般的三元方程所表示的曲面形状,已难以用描点法得到,那未怎样了解它的形状呢?利用坐标面或用平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌,这种方法叫做截痕法。下面,我们用截痕法来讨论几个特殊的二次曲面。一、椭球面由方程(1)所表示的曲面叫做椭球面。1、由(1)可知:这表明:椭球面(1)完全包含在以原点为中心的长方体内,这长方体的六个面的方程为其中常数叫做椭球面的半轴。2、为了进一步了解这一曲面的形状,先求出它与三个坐标面的交线这些交线都是椭圆。3、用平行于坐标面的平面去截椭球面,其截痕(即交线)为这是位于平面内的椭圆,它的两个半轴分别等于与,其椭圆中心均在轴上,当由渐增大到时,椭圆的截面由大到小,最后缩成一点。4、以平面或去截椭球面分别可得与上述类似的结果。综上讨论知:椭球面(1)的形状如图所示。5、特别地,若,而,则(1)变为这一曲面是坐标面上的椭圆绕轴旋转而成的旋转曲面,因此,称此曲面为旋转椭球面。它与一般椭球面不同之处在于如用平面与旋转椭球面相截时,所得的截痕是圆心在轴上的圆其半径为。6、若,那未(1)变成这是球心在原点,半径为的球面。二、抛物面由方程(2)所表示的曲面叫做椭圆抛物面。设,用截痕法来考察它的形状1、用坐标面与该曲面相截,其截痕为2、用平行于坐标面的平面与该曲面相截,所得截痕为这是中心在轴,半轴分别为与的椭圆。另外,平面与该曲面不相交,因此,原点是该曲面的顶点。3、用坐标面与该曲面相截,其截痕为这是一条抛物线,它的轴与轴相重合,顶点为。用平行于坐标面的平面与该曲面相截,其截痕为这是一条抛物线,它的轴平行于轴,顶点为。4、类似地,用坐标面以及平行于面的平面去截该曲面时,其截痕也是抛物线。综上所述,方程(2)所表示的曲面形状如下特别地,如果,那么方程(2)变为这一曲面可看成是面上的抛物线绕轴旋转而成的旋转曲面,这曲面叫做旋转抛物面。由方程所表示的曲面叫做双曲抛物面或马鞍面。当时,它的形状如下图所示点称之为鞍点。三、双曲面由方程(3)所表示