文档介绍：第四章线性回归模型检验方法拓展——三大检验
作为统计推断的核心内容,除了估计未知参数以外,对参数的假设检验是实证分析中的一个重要方面。对模型进行各种检验的目的是,改善模型的设定以确保基本假设和估计方法比较适合于数据,同时也是对有关理论有效性的验证。
一、假设检验的基本理论及准则
假设检验的理论依据是“小概率事件原理”,它的一般步骤是
(1)建立两个相对(互相排斥)的假设(零假设和备择假设)。
(2)在零假设条件下,寻求用于检验的统计量及其分布。
(3)得出拒绝或接受零假设的判别规则。
另一方面,对于任何的检验过程,都有可能犯错误,即所谓的第一类错误
P(拒绝H0|H0为真)=
和第二类错误
P(接受H0|H0不真)=
在下图,粉红色部分表示P(拒绝H0|H0为真)=。黄色部分表示P(接受H0|H0不真)=。
而犯这两类错误的概率是一种此消彼长的情况,于是如何控制这两个概率,使它们尽可能的
都小,就成了寻找优良的检验方法的关键。
下面简要介绍假设检验的有关基本理论。
参数显著性检验的思路是,已知总体的分布,其中是未知参数。总体真实分布完全由未知参数的取值所决定。对提出某种假设,从总体中抽取一个容量为n的样本,确定一个统计量及其分布,决定一个拒绝域,使得,或者对样本观测数据X,。是显著性水平,即犯第一类错误的概率。
既然犯两类错误的概率不能同时被控制,所以通常的做法是,限制犯第一类错误的概率,使犯第二类错误的概率尽可能的小,即在
的条件下,使得
,
达到最大,或
,
达到最小。其中表示总体分布为时,事件的概率,为零假设集合(只含一个点时成为简单原假设,否则称为复杂原假设)。为备择假设集合,并且与不能相交。由前述可知,当为真时,它被拒绝(亦即H0不真时,接受H0)的概率为,也就是被接受(亦即H0不真时,拒绝H0)的概率是(功效),我们把这个接受的概率称为该检验的势。在对未知参数作假设检验时,在固定下,对的每一个值,相应地可求得的值,则定义
称为该检验的势函数。统计检验的势(函数)主要用于比较假设检验的优劣。于是一个好的检验方程是
或
为了理论上的深入研究和表达方便,我们常用函数来表示检验法。定义函数
它是拒绝域的线性函数,仅取值0或1。反之,如果一个函数中只取0或1,则可作为一个拒绝域。也就是说,和之间建立了一种对立关系,给出一个就等价于给出了一个检验法,(我们称为检验函数)。那么,对于检验法的势函数为
于是,一个好的检验法又可写为
称满足上式的检验法为最优势检验。如果对于复杂原假设和备择假设,则称为一致最优势检验()。
奈曼—皮尔逊()基本引理给出于是的充要条件。
定理设是来自总体分布密度为的样本,为未知参数,对于简单假设检验问题,检验函数是显著性水平为的最优势检验的充要条件是,存在常数,使得满足
这就是著名的奈曼—皮尔逊基本引理,需要指出的是,上述定理中的检验函数通常称为似然比检验函数,若记
称为似然比统计量。如果较大,意味着较大。所以在为真时观测到样本点的可能性比为真时观察到样本点的可能性小,因而应拒绝原假设;反之,如果较小则应接受。此外,利用,上述定理中的可写为
这说明对于简单假设检验问题,似然比检验是最优的,反之最优势检验法也一定是似然比检验法。而大量的文献都已证明了传统假设检验中的检验、检验、检验和检验都是最优势检验。
于是,我们可以放心地回到这部份的主题——计量经济模型的(假设)检验方法。
二、一般线性框架下的假设检验
设多元回归模型为
(2-43)
式(2-43)的统计检验通常包括以下三种情况
1、单个系数的显著性检验。
2、若干个回归系数的联合检验。
3、回归系数线性组合的检验。
从检验的方面看,考虑以下典型假设
、。即解释变量对Y没有影响,这是最常见的参数显著性检验。
、。是某一具体值。例如表示价格弹性,我们也许希望它是-1。
、。这里的可以看成生产函数中资本和劳动的弹性,此时检验是否规模报酬不变。
、或。即检验和的系数是否相同。
、。即检验全部解释变量都对没有影响。
、。这里的含义是把向量分为两个子向量和,分别含有和个元素。检验就是检验某一些解释变量(的一部分)对没有影响。
诸如以上的情形都可归于一般的线性框架
(2-44)
注意:这里。其中是由已知常数构成的矩阵(),r是各元素为常数(一般是0或1)的矩阵。于是,对于上述情形,的具体表示为
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
将上述假设问题一般化,则
为了检验这个假设,应先估计出,计算,若其值较“小”,(接近于0),则不应否定原假设;而如果其值较大,那么应对提出怀疑。为此我们先考察的分布。
对