文档介绍：22. (本小题满分14分)
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
22.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意
,所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设,.
(1)当轴时,.
(2)当与轴不垂直时,
设直线的方程为.
由已知,得.
把代入椭圆方程,整理得,
,.
.
当且仅当,,,
综上所述.
当最大时,面积取最大值.
山东理
(13)设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为.
(21)(本小题满分12分)
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为
,
(II)设,由得
,
,.
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,
,,
,
,解得
,且满足.
当时,,直线过定点与已知矛盾;
当时,,直线过定点
综上可知,直线过定点,定点坐标为
全国2理
、右焦点,若双曲线上存在点,使且,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
,为该抛物线上三点,若,则( )
20.(本小题满分12分)
在直角坐标系中,以为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆的方程;
(2)圆与轴相交于两点,圆内的动点使成等比数列,求的取值范围.
:(1)依题设,圆的半径等于原点到直线的距离,
即 .
得圆的方程为.
(2)
.
设,由成等比数列,得
,
即 .
由于点在圆内,故
由此得.
所以的取值范围为.
全国2文
,则椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
、,且
,则( )
A. B. C. D.
全国1理
(4)已知双曲线的离心率为,焦点是,,则双曲线方程为( )
A. B. C. D.
(11)抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,,垂足为,则的面积是( )
A. B. C. D.
(21)(本小题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为,.过的直线交椭圆于两点,过的直线交椭圆于两点,且,垂足为.
(Ⅰ)设点的坐标为,证明:;
(Ⅱ)求四边形的面积的最小值.
(21)证明:
(Ⅰ)椭圆的半焦距,
由知点在以线段为直径的圆上,故,
所以,.
(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得.
设,,则
,
;
因为与相交于点,且的斜率为,
所以,.
四边形的面积
.
当时,上式取等号.
(ⅱ)当的斜率或斜率不存在时,四边形的面积.
综上,四边形的面积的最小值为.
宁夏理
,
点,在抛物线上,
且, 则有( )
A. B.
C. D.
,焦点到渐近线的距离为6,
19.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和.
(I)求的取值范围;
(II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.
:(Ⅰ)由已知条件,直线的方程为,
代入椭圆方程得.
整理得①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,
.
(Ⅱ)设,则,
由方程①,. ②
又. ③
而.
所以与共线等价于,
将②③代入上式,解得.
由(Ⅰ)知或,故没有符合题意的常数.
辽宁理
,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为( )
A. B. C. D.
,是该椭圆的左焦点,若点满足,则= .
20.(本小题满分14分)
已知正三角形的三个顶点都在抛物线上,其中为坐标原点,设圆是
的内接圆(点为圆心)
(I)求圆的方程;
(II)设圆的方程为,过圆上任意一点分别作圆的两条切线,切点为,求的最大值和最小值.
本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,.