文档介绍：第卷第期杭州师范大学学报自然科学版..
年月.
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—环的扩张
芯
秦·
杭州师范大学理学院,浙江杭州
摘要:对环进行了扩张,并且将环与广义矩阵环和环联系
起来,进而探索了部分环为环时应具备的条件,且给出若干相关例子.
关键词:环;根;广义矩阵环;环
中图分类号:. : 文献标志码:
文章编号:——
环为—环,如果尺是特征为的交换环并且对所有,∈都有一—一.
早在年就将环推广为—环口,
在年,对根有了初步说明.
文章将—环扩展为—环,即设是环的根,如果对环中任
意元素,都有—一∈,那么称为——环
的性质以及与广义矩阵环、幂级数环和环间的关系.
文中所有的环都是有单位元的环交换环或非交换环,表示环的中心,、【,分别表示
环的根和单位元.
/ 厶、\
定义若为一个环,∈,“,,,.对于加法和乘法定义如下:
任取肼元素有
:三—一:—一:, 三一~.⋯一一。⋯~.
这样, 在上构成一个广义矩阵环Ⅲ.
定义设是有单位元的环,若取中任意元素,,都有。∈,那么尺称为
环.
引理设.,为环尺的根,则一·
证明见参考文献厂.
收稿日期:
通信作者:秦蕊,女,基础数学硕士研究生,主要从事代数研究.—: .
杭州师范大学学报自然科学版焦
定理在环中任取∈,则为环当且仅当为—环.
证明在,中任取:三,一三:,易知。一:三三一,
,&一。、『“一一一“,『、
所以一一~一,同样的,一,一,,~一,,·进而有
/一一一Ⅱ—、,口一。~ 一&一、/ 、
一一.—。一,一,一,, ,一一,,一‘
这里
一“一以一&一一一一一
“口Ⅱ一一“一以、一Ⅱ以一,
—一一一。一~ 一一
—“一一“一一。一—。一一。,
由于是—环,可得“一∈‘,,—一∈,而∈
,所以∈『,∈.根据引理可以得到—。。∈‘,,也就是环是
一个—环.
任取,∈,令一,一::,则有∈』.由引理知
一“。一∈『,所以环是一个—环.
引理在幂级数环中,一’∈,’∈.,.
定理是/一环当且仅当幂级数环, ,⋯, 也是—环.
—中任取
,一““。⋯“”⋯, —⋯: ⋯,
可以得到
’一“—, —: 一, ,∈,
进而
一一一。。一&: 一:, ∈.
因为是—环,所以“。一“。∈,根据引理有厂一—∈,所以
幂级数环是—环.
乍任取,∈,显然,∈,进而有—~。∈,进一步由归纳法可知,
,,⋯,.是—环.
推论设环中,是生成的主理想整环,则是.,一环当且仅当
枷一厂
是—环。
例设是一个环,是生成的主理想整环,则是一个—
环.
众所周知,广义矩阵环是环的特殊形式,以下来讨沦环的有关内容
及若干与.,一环的联系.
定义若,, , ,,包含了两个环,,两个双模,,和一对双模同态: —,
: —,满足条件:
是双模,
一, 一, .一叫.
第期秦蕊:‘,一环的扩张
是一双模,
一训, 叫一训, 一叫.
一, 叫一训叫.
该条件保证了一』。,,,,,按通常定义的矩阵加法和如下定