文档介绍：在数学和抽象代数中,群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位:许多代数结构,包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现,而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中,因为许多不同的物理结构,如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。群的定义设G是一个非空集合,*是它的一个代数运算,如果满足以下条件: Ⅰ.结合律成立,即对G中任意元素a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c); Ⅱ.G中有元素e,叫做G的左单位元,它对G中每个元素a都有e*a=a; Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1),叫做a的左逆元,使a^(-1)*a=e; 则称G对代数运算*做成一个群。一般说来,群指的是对于某一种运算*,满足以下四个条件的集合G: (1)封闭性若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c; (2)结合律成立任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c); (3)单位元存在存在e∈G,对任意a∈G,满足a*e=e*a=a,称e为单位元,也称幺元; (4)逆元存在任意a∈G,存在唯一确定的b∈G,a*b=b*a=e(单位元),则称a与b互为逆元素,简称逆元,记作a^(-1)=b. 通常称G上的二元运算*为“乘法”,称a*b为a与b的积,并简写为ab. 若群G中元素个数是有限的,则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。定义运算对于g∈G,H包含于G,g*H={gh|h∈H},简写为gH;H*g={hg|h∈H},简写为Hg. A,B包含于G,A*B={ab|a∈A,b∈B}, G对*是群,则对于任一g∈G,gG=Gg= G对*是群,集合H包含于G,记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}子群的定义如果G对于运算*为一个群,H包含于G并且H对*构成一个群,那么称H为G的子群。这条定理可以判定G的子集是否为一个子群: HH=H且H^(-1)=H<=>H是G的子群历史群论是法国传奇式人物伽罗瓦(Galois,1811~1832年)的发明。他用该理论,具体来说是伽罗瓦群,解决了五次方程问题。在此之后柯西(Augustin-LouisCauchy,1789~1857年),阿贝尔(NielsHenrikAbel,1802~1829年)等人也对群论作出了发展。最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群,它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时,经由J.-、、,并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程,它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群,1832年伽罗瓦证明了:一元n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”(见有限群)。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn,而当n≥5时Sn不是可解群,所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出,A.-