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第三节二重积分的应用
一、求平面图形的面积
二、求空间立体的体积
三、求平面薄片的质量
由二重积分的几何解释可以知道:以曲面z=f(x,y)为顶,以D为底的直曲顶柱体的体积为:
特别当f(x,y)=1时,平面D的面积为:
由二重积分的物理解释可以知道,密度为f(x,y)的平面薄板D的质量为:
一、平面图形的面积
例1 求由抛物线x=y2和直线x–y=2所围成图形的面积.
解记其面积为S,
则
先对x积分后对y积分
作平行于x轴的直线与y轴相交,沿x轴正方向看,入口曲线为x=y2,出口曲线为x=2+
区域D在y轴上的投影区间为[–1,2].故
二、求空间立体的体积
由二重积分的几何意义,若
在D上连续,
则以D为底,以
为顶的曲顶柱体的体积为
例2 设平面x=1,x= –1,y=1和y= –1围成的柱体被坐标平面z=0和平面x+y+z=3所截,求截下部分立体的体积.
解由于所截得的形体是一个曲顶直柱体,其曲顶为z=3–x–y,而其底
因此,由二重积分的几何应用得到
例3 设平面薄片D是由x+y=2,y=x和x轴所围成的区域,它的密度,求该薄片的质量.
解平面薄片D
先解方程组
得两曲线的交点为(1,1),D可用不等式表示为
三、求平面薄片的质量
例4 设平面薄片D为介于圆之外,而在圆
内的区域,且D内点(x,y)处的密度,
求该平面薄片质量.
解平面薄片D.