文档介绍：一。微分方程
1. 一阶微分方程
(1).微分方程的通解是( C )
A. B.
C. D.
(2).求微分方程的通解。
解:
(3) 求微分方程的通解
解:,
,
(4) 计算满足下述方程的可导函数,
解:原方程两端求导得
即,这是标准的一阶线性微分方程
原方程令得,代入通解得,从而
(6) 求微分方程的通解
解:原方程化为,这是关于未知函数为x的一阶线性微分方程,
通解为:
(7)、求微分方程的通解.
解:原式可以化为一阶线性微分方程
由公式
(8) 设是微分方程的一个解,求此微分方程的通解。
解:因为,原方程为
这是一个一阶线性微分方程,其通解为
(9)求微分方程
2. 高阶微分方程
(10)
(11) 求如下初值问题的解
解:此为可降阶微分方程第三种类型。
设,则,原方程化为
变量分离两边积分得
由可得
解可得,
由可得
所求解为:。
(12)设具有二阶连续导数,,且是全微分方程,求其此全微分方程的通解。
解:由全微分方程的条件知
有特解有形式,代入原方程得
从而通解
由初值条件
因此
原方程即为
即
(14). 微分方程的通解为:
(15). 求方程的通解。
解:先求的通解,解特征方程得特征根,所以
的通解为
因为是单特征根,所以原方程有特解形式,代入原方程得
原方程通解为
(16). 求解初值问题
解:方程对应的齐次方程为,它的特征方程为,
特征根为,从而对应通解为
容易看出的一个特解为,因此原方程的通解为
从而,由初值条件可得。
因此
(17). 用待定系数法求微分方程的一个特解时,应设特解的形式( B )
A、 B、
C、 D、
二。空间解析几何与向量代数
(1).设有向量,,则数量积0。
(2).过点且与平面平行的平面方程是: 。
(3).已知三点,则向量与的夹角是( B )
A. B. C. D.
(4) 曲线在点的切线方程为.
(5). 在曲面上求出切平面,使所得的切平面与平面平行。
解:曲面的法向量应与平面平面的法向量平行,
从而有,由于切点在曲面上
因此切平面为
(6). 已知直线和平面则( B )
A、在内 B、与平行,但不在内
C、与垂直 D、不与垂直,不与平行
(7). 已知直线和,证明:,并求由
所确定的平面方程。
证明:直线上任取两点,则是的方向向量;的一个方向向量为,因为,所以
设所确定的平面方程为,它经过点和点,所以
所求方程为
三。多元函数
(1).设,则。
(2).在点处的全微分是( D )
A. B. C. D.
(3).设,求。
解:
(4).设由方程确定隐函数,求全微分。
解:
(5).用铁板造一个体积为的有盖长方体水箱。问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省。
解: 设长,宽,高分别为,则问题为:求在条件下的最小值.
令
令
由于找到的驻点是唯一的,又根据实际意义,所求的最小值是存在的,
所以所求的长,宽,高均为时,用料最省.
(9).
(10).
(11). 设,其中函数具有二阶连续偏导数,求。
解:
(12). 求函数在圆域的最大值和最小值。
解:当时,找驻点
,得唯一驻点
当时,是条件极值,考虑函数
,解方程组
可得
所求最大值为,最小值为。
(13). 求由方程组所确定的及的导数及。
(14) 函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要条件(填必要、充分或充要).
(15). 设有连续偏导数,则
(16). 给定曲面为常数,其中有连续偏导数,证明曲面的切平面通过一个定点
证:令,则
从而曲面在点处的切平面为
,其中为动点。
显然时成立,故切平面均过。证毕
(17). 设,求
解:两边取微分,得
从而,
(18). 设,则它有极小值
(19). 设长方形的长、宽、高满足,求体积最小的长方体。
解:令
则,从而
再由即约束条件,可得,从而
由问题的实际意义可知,当体积最小长方体的长、宽、高均为3。
(20). 设,则
(21). 已知,则 0
(22). 设,其中具有二阶连续偏导数,求.
解:
(23). 证明函数在原点处可微,但在点处不连续
解:由定义
同理
由于
从而函数在原点处可微。
当
由于不存在,因此在点