文档介绍：郑悦绚:数系的源与流· 1·
数系的源与流
(师范学院数学系,数学教育专业郑悦绚)
(学号:2000123114)
内容提要:本文旨在探索数系的源与流。首先从历史的角度和数学科学自身发展的角度
审视了数系的扩充,指出数系的扩充既是由于社会实践的推动,又符合数学科学研究自身发
展的要求。详细介绍了自然数、小数、分数等概念产生和发展的历史,在数的发展史中了解
数学创造的真实过程,决不是一帆风顺,在更多的时候充满犹豫,经历艰难曲折,甚至面临
危机。从中揭示研究数的产生与发展问题,无论对于深刻认识作为科学的数学本身,还是全
面了解整个人类文明的发展都具有非常重要的意义。纵观数系的扩充过程,从中可以窥见数
学发展的轨迹,本文在最后指出数系发展中的三条规律,对于指导数学的进一步发展,具有借
鉴意义。
关键词:数系扩充概念产生
教师点评:本文属文献总结与研究型论文。作者分别从历史与科学的角度,全面、系统、
准确地研究了数学两大基石之一的数的来源、发展与推广。全文客观地再现了数系从自然数
到整数、有理数、实数、复数、四元数、八元数等的产生过程和历史背景。又从数学科学本
身的理论体系中说明了数系发展的必然规律与科学意义。全文结构清晰、行文规范,具有理
论意义,也具有应用价值。表现出作者具有较强的文献阅读、整理、分析与评价的能力,和
较好的数学教育研究能力与写作能力,是一篇优秀的本科毕业论文。(点评教师:张文俊,
教授)
数学是研究现实世界的数量关系和空间形式(数与形)的科学。数,作为数学的两大基
本柱石之一,在数学中,在人类社会生活中具有极端重要的地位。
研究数的产生与发展问题,无论对于深刻认识作为科学的数学本身,还是全面了解整个
人类文明的发展都具有非常重要的意义。法国数学家庞加莱(Poincaré,Jules
Henri,—)说:“如果我们要预见数学的将来,适当的途径是研究这门科学
的历史和现状”。
本文的思想就是通过研究数系的源与流,即从历史角度和数学科学自身角度去审视数系
的扩充。从中可以看到数系的扩充,既是由于社会实践的推动,具有明显的客观历史背景;
又符合算术、代数这些数学学科理论发展的要求,完全出于数学科学研究自身的需要。从中
可以窥见数学发展的轨迹,也可以揭示数学发展的规律。对于指导数学的进一步发展,具有借
鉴意义。
一、数系扩充概述
数学——自然科学之父,起源于用来计数的自然数的伟大发明。数(number),通常包
括自然数、整数、有理数、实数、复数以及在它们基础上形成的其他概念,例如代数数、超
越数、四元数、八元数、向量、矩阵等等。
从数学史发展的角度来看,早期的数系扩展主要是由于实践的需要。正是为了解决实践
中出现的问题,人们不断将数的领域加以扩展。首先是实践需要引入自然数,任何离散的对
象都可以用自然数予以量化。以自然数为源头,数系得以不断扩充。随后又引入了分数、小
数。它们的使用也正是由于生活实践的推动。
然而,数学的发展又具有独立性、曲折性,数系的引入历史证明了这一点。现实世界中
大量存在的具有相反意义的量,但这却并不意味着人们就一定能够产生出负数的概念。在我
国,负数引入更重要的原因或许是出于解方程组的需要。因而,至少我们可以说负数在我国
的产生是实践与数学两方面结合的产物。无理数的引入,虽说也存在着客观因素。因为现实
世界中除了离散量外,还存在大量连续量,而为了刻画出连续量就必须引入无理数。但数学
史的发展表明,无理数引入的直接动力来自于数学内部。
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从实数往后,数系的进一步推广,主要也是来自于数学内部的原因了。虚数的引入正是
由于解方程的需要,人们才不得不引入了缺乏现实背景的虚数。至于四元数的引入,其产生
背景主要来自于物理学方面的需要。
总之,数系的扩充,可以从两种不同的角度去审视。一种是从自然的、历史的角度,它
反映了人类认识数的历史过程,数的每一次扩充都是为了满足社会生产与生活的需要。另一
种是从理论的、逻辑的角度,是数学家人为的构造,它反映了现代数学思想和数学方法。从
数学科学自身来说,数系的发展则基本上是依赖于运算的需要。
1. 从历史的角度,数的自然扩充
数的概念的发展是一个历史的、渐进的过程。它是由人类生活和生产实践的需要,逐步
形成和发展起来的;也是人类文化的伟大创造之一。
数的观念具有悠久的历史,根据考古学家提供的证据。可以肯定,数的概念和计数的方
法在文字记载之前就已经发展起来了,其历史至少有五万年了。
首先是实践需要引入了自然数,