文档介绍：第二章数学思维
思维
数学思维
数学思维的类型
数学思维方式
思维
思维是人脑对客观事物的本质及其内在规律性联系概括的和间接的反映。思维有两个最显著的特征,一是概括性,二是间接性。
思维的概括性
思维的概括性是指思维所反映的不是个别的事物或事物的个别属性,而是反映一类事物所共有的本质特征以及事物所有的普遍或必然的联系。
思维的间接性
思维的间接性是指思维不是直接地,而是通过其他事物的媒介作用来反映客观事物的。
正是由于思维具有间接性的特点,所以人们才能对那些未曾感知过或根本无法感知的事物做出反映,从而使人的知识范围扩大、延伸;同样也是由于思维具有间接性的特点,才使得人们能够预测未来,使行动有目的、有计划地进行。思维的间接性是随着主体知识经验的丰富而发展起来的,因此,知识和经验对思维能力有重要影响。
数学思维
数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动。具体来说,数学思维就是以数和形及其结构关系为思维对象,以数学语言和符号为思维的载体,并以认识发现数学规律为目的一种思维。
数学思维既从属于一般的人类思维,具有一般思维的特征,同时由于数学及其研究方法的特点,数学思维又具有不同于一般思维的自身特点,表现在思维活动是按客观存在的数学规律进行的,具有数学的特点与操作方式。特别是作为思维载体的数学语言的简约性和数学形式的符号化、抽象化、结构化倾向决定了数学思维具有不同于其他思维的独特风格。数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。
概括性
数学思维的概括性比一般思维的概括性更强,这是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结构和数量关系及其规律,能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。数学思维方法、思维模式的形成是数学思维概括水平的重要表现,概括的水平能够反映思维活动的速度、广度和深度、灵活程度以及创造程度。因此,提高主体的数学概括水平是发展数学思维能力的重要标志。
整体性
数学思维的整体性主要表现在它的统一性和对数学对象基本属性的准确把握。数学科学本身是具有统一性的,人们总是谋求新的概念、理论,把以往看来互不相关的东西统一在同一的理论体系中。数学思维的统一性,是就思维的宏观发展方向而言的,它总是越来越多地抛弃对象的具体属性,用统一的理论概括零散的事实。这样既便于简化研究,又能洞察到对象的本质。数学思维中对事物基本属性的把握,本质上源于数学中的公理化方法。这种整体性的思维方式对人们思考问题具有深远的影响。
相似性
数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。数学思维的相似性普遍存在,在创造性思维活动中发挥着重要作用。数学思维中到处渗透着异中求同、同中辨异的比较、分析过程。数学中的相似表现有几何相似、关系相似、结构相似与实质相似、静态相似与动态相似等。数学思维中的联想、类比、归纳和猜想等都是运用相似性探求数学规律、发现数学结论的主导方法。对相似因素和相似关系的认识能加深理解数学对象的内部联系和规律性,提高思维的深刻性,发展思维的创造性。因此,相似性是数学思维的一个重要特征。
问题性
数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联的。问题是数学的心脏,数学科学的起源与发展都是由问题引起的。由于数学思维是解决数学问题的心智活动,它总是指向问题的变换,表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题,使数学思维的结果形成问题的系统和定理的序列,达到掌握问题对象的数学特征和关系结构的目的。因此,问题性是数学思维目的性的体现,解决问题的活动是数学思维活动的中心。这一特点在数学思维方面的表现比任何思维都要突出。因此,80年代世界数学教育将“问题解决”作为其主要任务是有道理的。