文档介绍：古人认定圆的周长和直经的比是个与圆的大小无关的常数,只是直觉,猜想。只有极限知识的完善,特别是人们掌握曲线积分的知识,才能严格证明圆的周长和直经的比是个与圆的大小无关的常数的命题。用极限求证这命题也较麻烦,(不如求圆的面积容易,)一般使用曲线积分的方法。如下:设圆的方程:x^2+y^2=R^2,由对称性知圆在第一象限的长度为1/4周长。圆在第一象限的的方程:y=√[R^2-x^2]圆在第一象限的长度=∫{0≤x≤R}√[1+(y’)^2]dx==∫{0≤x≤R}dx/√[1+(x/R)^2]=(t=x/R)=R∫{0≤t≤1}dt/√[1+(t)^2]。==》圆的周长=2R[2∫{0≤t≤1}dt/√[1+(t)^2]],其中2R圆的直经,而2∫{0≤t≤1}dt/√[1+(t)^2]与圆的大小无关的常数。中学生别太费劲搞懂这问题,只有学了曲线积分才可理解。圆周长公式推倒先通过甩动一头系小球的绳子在空中划出两个大小不同的圆,让学生观察、猜测圆的周长会与它的什么有关?学生很自然的联想到圆的周长与它的直径或者半径有关。其次引导学生探索实验,在本课的教学中小组成员间互相协调、互相启发,人人动手主动参与,或用滚动法、或用绕绳法、或用卷尺直接测量来探索圆的周长和它直径之间存在的关系。借助操作过程来启动思维,使学生由被动接受知识转化为主动探索获取知识,让学生真正成为学习的主人。最后引导学生归纳论证。通过实验,学生们很快就发现了这样一个奇怪的现象,即圆的周长总是它的直径的3倍多一些,这时教师给予充分肯定。在此基础上,让学生总结概括出圆的周长的计算公式C=πd和C=2πr。