文档介绍：二人零和对策
§1 二人常数和对策模型
二人零和对策是最基本的对策形式,先用一个例子来说明。
甲、乙两名儿童玩“石头--剪子--布”的游戏。石头胜剪子,剪子胜布,布胜石头。那么,甲、乙儿童如何做,使自己获胜的可能最大?
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8/10/2017
1
在对策论中,应有以下要素:
(1) 局中人。是指参与对抗的各方,可以是一个人,也可以是一个集团。、乙两名儿童就是局中人。
(2) 策略。是指局中人所拥有的对付其他局中人的手段、方案的集合。、剪子、布三种策略。
(3) 支付函数(或收益函数)。是指一局对策后各局中人的得与失,通常用正数字表示局中人的得,用负数字表示局中人的失。。
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8/10/2017
2
乙
石头
剪子
布
甲
石头
0
1
-1
剪子
-1
0
1
布
1
-1
0
“石头--剪子--布”中儿童甲的支付函数
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当局中人得失总和为零时,称这类对策为零和对策;否则称为非零和对策。
当局中人只有两个,且对策得失总和为零,则称为二人零和对策,若总得失总和为常数,则称为二人常数和对策,若得失总和是非常数的,则称为二人非常数和对策。
若二人对策双方的得失是用矩阵形式表示,则称支付函数为支付矩阵,相应的对策称为矩阵对策。通常,支付矩阵表示局中人A的支付函数。
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鞍点对策是对策的最基本策略,为更好地理解鞍点对策,先看一个简单的例子。
1. 对策的基本策略---鞍点对策
、B两人对策,各自拥有三个策略:
a1, a2, a3和b1, b2, b3, 局中人A的支付(收益)
。试求A、B各自的最优策略。
b1
b2
b3
min
a1
1
3
9
1
a2
6
5
7
5
a3
8
4
2
2
max
8
5
9
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问题分析:
从直观来看,局中人A应该出策略a1, 因为这样选择,他有可能得到9. 但局中人B看到了这一点,他出策略b1,这样局中人A不能得到9,而只能得到1. 因此,局中人A也充分认识到这一点,他应当出策略a3, 这样做,就有可能得到8,而这种情况下局中人B,就要出策略b3,局中人A也只能得到2.
这样做下来,局中人A只能选择策略a2, 而局中人B也只能选择策略b2,大家达到平衡,最后局中人A赢得的值为5,局中人B输掉的值为5.
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从上面的分析可以看出,无论局中人A选择什么策略,他赢得的值总是小于等于5,而无论局中人B选择什么策略,他输掉的值总是大于等于5,5就是支付矩阵的鞍点。
现讨论一般情况。。
1
2
…
n
1
C11
C12
…
Cn1
2
C21
C22
…
Cn2
┆
┆
┆
┆
m
Cm1
Cm2
…
Cmn
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其中局中人A有m个策略α1 , …,α m, 局中人B有n个策略β1, …, β n, 分别记为S1={α1 , …,α m}, S2= {β1, …, β n}
C为局中人A的支付矩阵,而-C为局中人B的支付矩阵。因此,矩阵对策记为G={A,B; S1, S2, C}, 或G= {S1, S2, C}
对于一般矩阵对策,有如下定义和定理。
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= {S1, S2, C} 是一矩阵对策,若等式
成立,则记vG=, ci* j*并称vG 为对策G的值。
称使式(1)成立纯局势(α i*, β j*)为G在纯策略下的解(或平衡局势),称α i*和β j*分别为局中人A、B的最优纯策略。
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矩阵对