文档介绍：内积满足下列运算规律:(i)[x,y]=[y,x];(ii)[x,y]=[x,y];(iii)[x+y,z]=[x,z]+[y,z].(2)定义2称为n维向量x的长度(或范数).向量长度具有下列性质:(i)非负性:当x0时,||x||>0;当x=0时,||x||=0.(ii)齐次性:||x||=||||x||;(iii)三角不等式:||x+y||≤||x||+||y||.向量内积满足施瓦茨不等式:[x,y]2≤[x,x][y,y].[x,y]=0时,称向量x与y正交.(3)当||x||0,||y||0时,(4)正交向量组的性质若n维向量a1,a2,···,ar是一组两两正交的非零向量组,则(i)a1,a2,···,ar必线性无关;(ii)(5)定义3设n维向量e1,e2,···,er是向量空间V(VRn)的一个基,如果e1,e2,···,er两两正交,且都是单位向量,则称e1,e2,···,er是V的一个规范正交基.(6)施密特(Schmidt)正交化过程从线性无关向量组a1,a2,···,ar导出与之等价的正交向量组b1,b2,···,,a2,···,ar是向量空间V的一组基,通过正交化,单位化,都可以找到与之等价的一组规范正交基e1,e2,···,er,称为把a1,a2,···,ar这个基规范正交化.(7)定义4若n阶方阵A满足ATA=E(即A-1=AT),=(aij)n×n为正交矩阵的充要条件是或(8)定义5若P为正交矩阵,则线性变换y=(1)定义6设A是n阶方阵,如果数和n维非零列向量x使关系式Ax=x成立,那么,数称为方阵A的特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值的特征向量.|A-E|=0称为方阵A的特征方程,f()=|A-E|=(aij)的特征值为1,2,···,n,则有(i)1+2+···+n=a11+a22+···+ann;(ii)12···n=|A|.(2)有关特征值的一些结论设是A=(aij)n×n的特征值,则(i)也是AT的特征值.(ii)k是Ak的特征值(k为任意自然数);是A=a0+a1+···+amm,A=a0E+a1A+···+amAm.(iii)当A可逆时,1/是A-1的特征值;|A|/是A的特征值.(3)有关特征向量的一些结论(i)对应于不同特征值的特征向量是线性无关的.(ii)(1)定义7设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.