文档介绍：第二轮讲练思维方法·求异思维
 
所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、,它具有不落俗套、标新立异、,用求异思维解题有利于培养思维的多向性、灵活性和独特性.
在平面解析几何中,培养学生的求异思维能力,要注意以下几个方面.
(一)变换思维方向
解证解析几何习题,常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面,甚至会到“山穷水尽疑无路”,若能变换思维角度,多方位思考,多渠道辟径,就会超过思维障碍,呈现“柳暗花明又一村”的美景.
例1  已知点A(1,-1)、B(7,2),以A为圆心、8为半径作⊙A,以B为圆心,6为半径作⊙B,求这两个圆外公切线交点P的坐标.
【分析】  如图1-,先求出两条外公切线的方程,,由于运算量过大,,联想到公切
径之比),那么便可用线段定比分点公式,使问题获得巧解.
【解】  如图1-4,设M、N是一条外公切线与两个圆的切点,连结AB、BP,则A、B、P三点共线,再连结AM、BN,则AM⊥MP、BN⊥MP.
∴  BN∥AM.
设点P的坐标为(x,y),则由线段定比分点公式,得
故点P的坐标为(25,11).
例2  如图1-5,直线y=kx+b与圆x2+y2=1交于B、C两点,与双曲线x2-y2=1交于A、D两点,若B、C恰好是线段AD的三等分点,求k与b的值.
【分析】  如图1-5,解本题的自然思路是,由|AB|=|BC|=|CD|入手,先计算出|AB|、|BC|、|CD|(即用k、b表示),然后解方程组求得k、、CD的端点不在同一曲线上,,由|AB|=|CD|出发,可得线段BC与AD的中点重合,进而可用韦达定理,列出k、b的一个关系式,再
【解】  如图1-5,把y=kx+b代入x2-y2=1中,整理,得
(1+k2)x2+2bkx+b2-1=0                                                               ①
从而  由韦达定理,得
把y=kx+b代入x2-y2=1中,整理,得
(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0                                                          ②
∵  |AB|=|CD|,
∴  AD与BC的中点重点.
解之,得k=0或b=0.
当k=0时,方程①化为x2=1-b2,
(二)一题多解
在解析几何中,进行一题多解训练是培养求异思维能力的一种极好形式.
例3  已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.(1994年全国高考理科试题)
【分析1】  设直线l的方程为y=kx,抛物线C的方程为y2=2px(p>0),先求出A、B关于l对称的点A′、B′的坐标(用k表示),再代入抛物线C的方程中,可得k、p的方程组,最后解方程组即可.
【解法1】  如图1-
y2=2px(p>0).
由于直线l不与两坐标轴重合,故可设l的方程为
y=kx(k≠0).                                                             ①
设A′、B′分别是A、B关于l的对称点,则由 A′A⊥l可得直线AA′的方程为
将①、②联立,解得线段AA′的中点M的坐标为
分别把A′、B′的坐标代入抛物线C的方程中,得
由③÷④,消去p,整理,得
k2-k-1=0.