文档介绍：性微分方程教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程:一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中Q、、乃是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么戶Ga+,能否适当选取r,使y=ex满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将尸『代入方程/+“+妇0得(厂2+pr-\-q)ex=,只要厂满足代数方程r+pr+q=Q,函数户e":方程r+pr+q=、々可用公式__p+土Jp2_4q计 :(1)特征方程有两个不相等的实根门、厂2时,函数y}=er'x>,函数y=严、乃是方程的解,又2L=H=$L2)^x因此方程的通解为y=C{e^+C^x.(2)特征方程有两个相等的实根门=广2时,函数))之2、,)、=凸是方程的解,又(兀外)"+p(xer]X)f+q(xer]X)=(2/j4-xi^)er]X+/?(14-xt\)eriX4-qxe^x=er]X(2r\+/2)+兀£心(用+p斤+g)=0,所以》,2=兀严也是方程的解,且立二竺二兀不是常数.・ )ier'x因此方程的通解为y=C{erix+C2xe^・⑶特征方程有一对共辄复根f尸址/0时,函数尸严%=e%os0x、y=e%“=严恥和y2=e^x都是方程的解,而由欧拉公式,得yi=e如处=8血(cos0x+/sin/M,上=』宀处=6处(cosQ~/sinQr),“+M=2e%0S血严cosm=*(yi+y2),y,-y2=2ie^sinflx,严血处=寺®-力)・故e%os0¥、上=8叫力0¥,丫\=『35躯、y^e^s\『(Gcos0x+Czs\npx).求二阶常系数齐次线性微分方程/+”+妇0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程r+pr+q=Q第二步求出特征方程的两个根门、,-2j/-3y=-2r-3=0,即(r+1)(r-3)==3是两个不相等的实根,因此所求通解为戶gy例2求方程y,+2y+y=0满足初始条件卩|心)=4、j/|7=-+2r+1=0,即(厂+1)2==灼=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(G+Gx)|^o=4代入通解,得G=4,从而户(4+3/将上式对x求导,得j/=(Q-4一Qx)e\再把条件/1^=-2代入上式,得G==(4+2丸e\例3求微分方程/-2"+?-2r+5==1+2/,r2=1-2/,是一对共辄复根,因此所求通解为y^e(Gcos2a+:方程yS+piy(/^1)+p2 +•••+sjZ+ajT,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中Q,灿,•…,,可推广到〃,及微分算子的/?次多项式:L(D)—D" D"-2+•••+Pn_\D+p„,则〃阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn+p1D^1+p2D^2+•••+p—D+p”)y=O或Z.(D)y=:D叫做微分算子 D2j^Z, ••,D>y(t分析:令y=e\则L(D)y=L(D)ex=(Z7+pir~\fhr~2+ • • • +Pn-\r+p、ex=L(r)£(厂)的根,则戶e"是微分方程£(D):/.(厂)=F+p产1+炷产2+... pir+pT称为微分方程£(D)y=:单实根厂对应于一项:C亍;一对单复根<1, 2=a±/0对应于两项:e^^cosjSx+CzSin]3x);A•重实根厂对应于斤项:erx{C\+Cix+•…+Qx"t);一对k重复根rb2=a±/0对应于2斤项:8血[(G+Q^4~• •^rCkX1) (Pi+