文档介绍：第一章函数一、实数集合关于邻域:设a为某个正数,称开区间(x0-a,x0+a)为点x0的邻域。记作U(x0,a)。称x0为该邻域的中心,a为该邻域的半径。点x0的空心邻域即(x0-a,x0+a)\{x0}或U(x0,a)点x0的左邻域(x0-a,x0]空心左邻域(x0-a,x0)点x0的右邻域[x0,x0+a)空心右邻域(x0,x0+a)二、函数关系A、一个函数的两个基本要素圈①定义域记作D(f)或D.②对应规则记作fB、绝对值函数y=|x|去绝对值符号的方法,分类讨论C、符号函数y=sgnx①x>0时y=1②x=0时y=0③x<0时y=-1D、取整函数y=[x]=nn≤x<n+1n=0,±1,±2…..[x]表示不超过x的最大整数,称为x的整数部分[]=2[π]=3[-]=-3取整函数的图像E、函数的自然定义域:即定义域一般需要注意:分式的分母不为零,对负数不能开偶次方根,对数的真数必须为正。三、函数的基本特性A、单调性证明函数的单调性:任取x1、x2∈D且x1<x2.,求解f(x1)与f(x2)的大小关系。由此函数单调性得证。B、有界性:若存在常数M>0,使得对任意的x∈D,恒有|f(x)|≤M,则称函数f(x)在D上有界,否则则称无界。(判断函数是否有界一般为求解函数的值域)①有上界:f(x)≤M②有下界:f(x)≥MC、奇偶性奇函数:任意x∈D,恒有f(-x)=-f(x)偶函数:任意x∈D,恒有f(-x)=f(x)非奇非偶:不是奇函数也不是偶函数判断函数奇偶性一般先判断定义域是否关于原点对称,如果不对称则一定为非奇非偶函数;若对称则求f(-x)的表达式,观察是否可以化成f(x)或f(-x)的形式,由此判断D、周期性f(x)在D上有定义,存在常数T>0,使对任意的x∈D,恒有x+T∈D,且f(x+T)=f(x)成立,则称f(x)为周期函数。满足上式的最小正数T0为f(x)的周期四、复合函数与反函数A、复合函数:y=f[g(x)],y=f(u),u∈D(f),y∈Z(f)u=g(x),x∈D(g),u∈Z(g)y为因变量,x为自变量,u为中间变量。前提条件D(f)∩Z(g)≠∅=sin2x→y=u2u=x2y=sinx2→y=sinuu=x2y=earcsin→y=euu=arcsinvv=w=1+x2B、反函数x=f-1(y)y∈Z(f)即反函数的定义域为直接函数的值域,值域为直接函数的定义域。※不是所有的函数都存在反函数※原函数(即直接函数)与反函数关于y=x对称求某函数的反函数时①用y表示出x并整理②用x代替y,=的反函数①用y表示x,整理得x=②用x代替y,用y代替x得y=五、初等函数A、基本概念:基本初等函数:常函数、幂函数、指数函数、对数函数…初等函数:由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合,并在其定义域内有一个