文档介绍：§ 矩阵的秩与矩阵的初等变换
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矩阵的秩的概念
定义:在 m×n 矩阵 A 中,任取 k 行 k 列( k ≤ m,k≤n)位于这些行列交叉处的 k2 个元素,不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式,称为矩阵 A 的 k 阶子式.
显然,m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有个.
定义:设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D,且所有r +1 阶子式(如果存在的话)全等于零,那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R(A).
规定:零矩阵的秩等于零.
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根据行列式按行(列)展开法则可知,矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式(如果存在的话)都可以用 r +1 阶子式来表示.
如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零,那么所有 r +2阶子式也都等于零.
事实上,所有高于 r +1 阶的子式(如果存在的话)也都等于零.
因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数.
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矩阵 A 的一个 3 阶子式
矩阵 A 的 2 阶子式
如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零,那么这个 3 阶子式也等于零.
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矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数.
显然,
若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零,则 R(A) ≥ s ;若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零,则 R(A) < t .
若 A 为 n 阶方阵,则 A 的 n 阶子式只有一个,即|A| .当|A| ≠ 0 时, R(A) = n ;
可逆矩阵(非奇异矩阵)又称为满秩矩阵.
当|A| = 0 时, R(A) < n ;
不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵.
若 A 为 m×n 矩阵,则 0 ≤ R(A)≤ min(m, n) .
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例:求矩阵 A 的秩
解:在 A 中,2 阶子式.
A 的 3 阶子式只有一个,即|A|,而且|A| = 0,因此 R(A) = 2 .
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矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,在解线性方程组、求逆矩阵以及矩阵理论的探讨中都起着重要的作用.
矩阵的初等变换
引例:线性方程组的三种等价变换
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:对换、倍法、消法变换
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三种变换:
交换方程的次序,记作;
以非零常数 k 乘某个方程,记作;
一个方程加上另一个方程的 k 倍,记作.
定义:上述三种变换称为矩阵的初等行变换:
把定义中的“行”换成“列”,就得到矩阵的初等列变换的定义.
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
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行阶梯形矩阵:
可画出一条阶梯线,线的下方全为零;
每个台阶只有一行;
阶梯线的竖线后面是每行的第一个非零元素.
用矩阵的初等变换求矩阵的秩
一、行阶梯形矩阵(满足以下两个条件的矩阵)
(1)首个非零元的列标随着行数的增大而严格增大
(2)矩阵的零行位于矩阵的最下方(或者无零行)
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