文档介绍：线性方程组的矩阵求解算法

摘要线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,,易于实现.
关键词线性方程组;解向量;解法;约当消元法
矩阵求解算法
设有线性方程组,其增广矩阵,算法的步骤如下:
第一步:利用约当消元法,把增广矩阵化为行最简形,;否则设并执行以下步骤;
第二步:删除中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组中,如第行的第一个非零元在第列,则;
第三步:构造矩阵,其中
第四步:对矩阵中的行作交换运算:把中的第行(即从第行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第行,交换运算结果后的矩阵记为,则中的前个维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解;
第五步:写出方程组的通解.
算法证明
先证一个特殊情形,增广矩阵的行最简形矩阵的左上角为一阶的单位矩阵,即第行的第一个非零元的列标为,即,所以设为

则

由上述算法可得为

由于,故从得到时,中的行不需交换位置,即
那么矩阵的增广矩阵的线性方程组为

令
, ,
可以验证是方程组(1)所对应的齐次线性方程组的解,是方程组(1)的特解,又的后个分量构成的向量组,线性无关,把它扩充成维向量组后也线性无关,所以线性无关,又因为,所以方程组(1)的基础解系中有个向量,因此即为方程组(1)的基础解系,特殊情形得证.
对于行最简形矩阵为一般情形时,可以通过若干次列交换把它变形为上述特殊情形,但是,列交换将会导致最后结果中对应未知数的次序混乱,即在进行第列与第列的交换后,最后结果中与次序也就被交换了,因此,在这过程中,必须记住所进行的一切列交换,以便在最后结果中恢复,但若使用本矩阵求解算法,则可避免上述麻烦,为了叙述方便,还是只证一种特殊情形.
设
即则
,
,
现在证明的前个列向量是所对应的方程的基础解系,的最后一列是该方程组的特解,把矩阵的第2列依次与第3列,第4列,第列交换,得到矩阵

设矩阵所对应的方程组的解向量为,所对应的方程组的解向量为,则有

即若是所对应的方程组的解向量,则是矩阵所对应的方程组的解向量,而由上述所证的特殊情形,所对应的方程组的基础解系和一个特解分别为
, ,
由此可得矩阵所对应的方程组的基础解系和特解为
, , , ,
而,即为的列向量组,这一情形得证
若为起它任意情形,只要重复上上述证明过程,即可得到证明.
举例
例设有线性方程组求其通解.
解方程组的增广矩阵为

的行最简形矩阵为

划掉中的最后两个零行和每行的第一个非零元所在的第一列,第三列,第四列,得矩阵,并且

构造矩阵

由于,所以应把中第3行依次与其后的行交换,使之成为第4行,然后因为,所以把中第2行依次与其后的行交换,使之成为第3行最后因,故第1行不需与任何行交换,这样变得到矩阵,

所以方程组的通解为

事实上,本算法是约当消元法的推广,因为若时,最简形矩阵的前