文档介绍：线性方程组的矩阵求解算法摘要线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,,;解向量;解法;约当消元法1矩阵求解算法设冇线性方程组二b,其增广矩阵忑如)算法的步骤如下:第一步:利用约当消元法,把增广矩阵勿化为行最简形,设行最简形为B闷心).若/⑴r(A)=r,则方程组无解;否则设r(A)=R,并执行以F步骤;第二步:删除B屮的所冇零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵Drx(n_r+1),并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组f(l,L 如第,行的第一个非零元在第丿列,则=-1L(D\第三步:构造矩阵,其中F=F丿V vz— w7(/t-r)x(n-r4-l)第四步:对矩阵H中的行作交换运算:把H中的第,行(z=r,r-l,L1,即从第厂行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第f(i)行,交换运算结果后的矩阵记为G,则G屮的前72-厂个斤维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解;第五步:,增广矩阵久的行最简形矩阵B的左上角为一r阶的单位矩阵,即第7•行的第一个非零元的列标为匚即r(0=z(l</<r),所以设B为<10L01LB=LLL00LLLL<00Lo S L° C2,r+1 LL L L1 J+i LL L L0 0 LC2n〃2LLSn山LL由上述算法可得H为/C|,F+1Cl,r+\L5C2,r+1C2,r+2LLLLLLH=^r,r+lCr,r+2L5d,.-10L000-1L00LLLLL<o0L-10丿由于r(z)=z(l<z<r),故从H得到G时,H屮的行不需交换位置,即G=〃的增广矩阵的线性方程组为西=%一6+代+]一L5丿“x2=d2-c2r+[xr+l-Lc2nxn,“LLLLLLLL£=d「_c“]_L一%令e=/\Cl,r+1C2,r+1Mcr,r+1-1,勺=/、Cl,r+2C2,r+2Mcr,r4-20,J,ocn_r=/、5C2nM50仏、d2Mdr00-100MMMM<o><-1>\T丿(0丿可以验证a,a2X 是方程组(1)所对应的齐次线性方程组的解,〃是方程组(1)的特解,乂冷也丄%的后〃-厂个分量构成的向量组•线性无先把它扩充成维向量组后也线性无关,所以弘也丄—线性无关,又因为r(A)=r,所以方程组⑴的基础解系中有n-r(A)=n-r个向量,因此少,勺丄即为方程组(1)的基础解系,,可以通过若干次列交换把它变形为上述特殊情形,但是,列交换将会导致最后结果中对应未知数的次序混乱,即在进行第,列与第丿•列的交换后,最后结果中齐与®•次序也就被交换了,因此,在这过程中,必须记住所进行的一切列交换,以便在最后结果屮恢复,但若使用木矩阵求解算法,则可避免上述麻烦,为了叙述方便,还是只证一种特殊情形.(1C|20L06+2L001L0C2,r+2L£LLLOLLLLL设B=00LL1Cr,r+2L5dr00LL00L00LLLLLLLLL<00LL00L00丿即/(1)=1,应)