文档介绍：柯西不等式及应用柯西不等式及应用武胜中学周迎新柯西不等式:设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数,则有(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…an2)(b12+b22+…bn2)等号当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,,…n)时取到。注:二维柯西不等式:(一)、柯西不等式的证明柯西不等式有多种证明方法,你能怎么吗?证法一:判别式法:令f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2=(a12+a22+…+an2)x2+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+bn2)∵f(x)≥0∴△≤0即(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)等号仅当ai=λbi时取到。证法二:(二)、柯西不等式的应用柯西不等式是一个非常重要的不等式,其结构和谐,应用灵活广泛,灵活巧妙的运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件,继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便,而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等,(1)巧拆常数:例1:设、、为正数且各不相等。求证:分析∵、、均为正∴为证结论正确只需证:而又(2)重新安排某些项的次序:例2:、为非负数,+=1,求证:分析:不等号左边为两个二项式积,,每个两项式可以使柯西不等式,直接做得不到预想结论,当把节二个小括号的两项前后调换一下位置,就能证明结论了。(3)改变结构:例3、若>>求证:分析:初见并不能使用柯西不等式,改造结构后便可使用柯西不等式了∴∴结论改为(4)添项:例4:求证:分析:左端变形∴只需证此式即可求最值利用柯西不等式,可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题。例5已知a、b、c∈R+且a+b+c=1,求的最大值。例6求的最小值。3、在几何上的应用例7、三角形三边a、b、c对应的高为ha、、hb、hc、r为此三角形内切圆半径。若ha、+hb+hc=9r,试判断此三角形的形状。△ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为R,求证:证明:由三角形中的正弦定理得,所以,同理,于是左边=。故原不等式获证。以上几例以看出,柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式,而且它对初等数学也有很可的指导作用,利用它能高远瞩、居高临下,从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。练****a2,a3,…,an,b1,b2,…,bn为正数,求证:2设求证:(1984年全国高中数