文档介绍：关于二阶常系数线性偏微分方程的求解
姓名:王仁康
班级:数学101班
学号:201000134115
若方程的系数具体为两个自变量的常系数,则如下方程
(1)
其中a,b,c,d,e,g为实数,且a,b,c不全为零的解如何求得?选择变换和分类求解是主要方法.
主要定理
引理1若在区域上具有二阶连续偏导数,并且,则方程(1)利用可逆变换变换为以为自变量的二阶线性方程
,
其中,,
,,
。
证明利用变换,函数成为自变量是的二元函数,根据复合函数求导法则得
将上面各式带入(1)整理,结论成立.
引理 2 对于方程(1),若系数a,b,c满足:
(1);
(2)判别式,当时,方程(1)分别对应为抛物型、双曲型、椭圆型方程.
定理 1 若方程(1)中系数a,b,c满足
(1),判别式,且;
(2)沿其特征线做变换,则方程(1)化为一阶线性常微分方程.
证明因为,所以此变换为可逆变换,利用引理1通过变换方程化为
(2)
式中系数:
代入(2)得:.
定理 2 若方程(1)中系数满足
(1),判别式,且d = g = e = 0;
(2)作变换,则方程(1)化为一阶线性常微分方程:。
证明因为所以此变换为可逆,利用引理1通过变换方程化为
(3)
式中系数:
代入(2)得
(4)
(4)式可通过分离变量法求解.
定理 3 若方程(1)中系数满足
(1),判别式,且d = g = e = 0;
(2)作变换,则方程(1)化为一阶线性常微分方程:.
证明因为所以次变换为可逆变换,利用引理1通过变换方程化为
(5)
式中系数:
代入(2)得
(6)
(6)式为Laplace方程形式.
应用举例
例1 求解二阶线性方程(7)
解:由于判别式,所以(7)式为抛物型方程.