文档介绍：莆田学院数学系“高等代数选讲”课程论文题目:矩阵的相抵、合同、相似一些关于这三种等价关系的联系、差别和不变量姓名:阮超英学号:21041132数学系2002级本科(1)班2005年6月23日矩阵的相抵、合同、相似一些关于这三种等价关系的联系、差别和不变量[摘要]矩阵的相抵、合同、相似这三种等价关系之间既包含着联系,又蕴涵着差别,以及矩阵在各自关系下的不变量。[关键词]相抵;合同;相似;等价关系;不变量首先介绍矩阵的相抵、合同及相似概念的引入及其定义以及等价关系的证明。,故先了解一下初等变换下的初等矩阵。定义1由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。显然,初等矩阵是方阵,每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。互换矩阵的行与行的位置把矩阵的行乘以一非零数(为数域中数)把矩阵的行的倍加到行,有同样可以得到与列变换相应的初等矩阵,不难看出,初等矩阵是可逆的,且逆矩阵还是初等矩阵。定义2矩阵与相抵(记为或称为等价)是指对进行行和列的有限次的初等变换后可得到,亦即存在初等矩阵显然,矩阵的相抵是一种等价关系,它满足对称性若与相抵,则与相抵;因为由定义2,有:,这样可得到:反身性若和本身相抵;因为:传递性若和相抵,和相抵,则和相抵。由于:故:而矩阵相抵的一个重要方面就是矩阵的相抵。的多项式,以下三种变换称为对的“初等行变换”:;。类似可以定义列的初等变换。定义3若,都是矩阵且经过初等变换后可变为,则称矩阵与相抵。与数字矩阵一样,矩阵的相抵关系是一种等价关系。即<1>与自身相抵;<2>若与相抵,则与相抵;<3>若与相抵,与相抵,则与相抵。矩阵的合同经过一个非退化的线性替换,,替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系,即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系。设:〈1〉是一个二次型,作非退化线性替换〈2〉我们得到一个的二次型现在来看矩阵与的关系把〈2〉带入〈1〉,有易看出矩阵也是对称的,事实上由此,即得这就是前后两个二次型的矩阵的关系,与之相应,我们引入定义4数域上矩阵成为合同的,如果有数域上可逆的矩阵,使。合同是矩阵之间的一个关系,不难看出合同关系具有<1>反身性<2>对称性由即得<3>传递性因之,合同是一种矩阵之间的等价关系,而且经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的。:定理1设线性空间中线性变换在两组基〈3〉〈4〉下的矩阵分别为从基〈3〉到〈4〉的过渡矩阵是,于是证明:已知于是由此即得由此我们引进相似的定义定义5设,为数域上两个级方阵,如果可以找到数域上的级可逆矩阵,使得,就说相似于。记作。相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有下面三个性质:<1>反身性,这是因为<2>对称性如果,那么。如果,那么有X使,令,就有所以。<3>传递性如果,,那么。已知有,使令就有2一些关于矩阵的相抵、合同、相似的充要条件及其证明定理2矩阵与相抵当且仅当二者的行列式因子组相同或者不变因子组相同。证明:我们只需证行列式因子在任意一种初等变换下不变就可以了。对第一种初等变换,变换矩阵的任两行,显然的阶子式最多改变一个符号,因此行列式因子不变。对第二种初等变换,的阶子式与变换后矩阵的阶子式最多差一个非零常数,因此行列式因子也不改变。对第三种初等变换,记变换后的矩阵为,则与的阶子式可能出现以下3种情形:子式完全相同;子式中的一行(或一列)等于中相应子式的同一行(列)加上该子式中某一行(列)与某个多项式之积;子式的某一行(或列)等于中相应子式的同一行(列)加上不在该子式中的某一行与某一个多项式之积。在前面两种情形,行列式的值不变,因此不影响行列式因子,现在来讨论第三种情形。设为的阶子式,相应的的阶子式记为,则由行列式性质得其中由的行与列组成,因此它与的阶子式最多差一个符号。是乘以某一行的那个多项式,于是的行列式因子|,|,故|,这说明可整除的所有阶子式,因此可整除的阶行列式因子。但也可用第三种初等变换变成,于是|,由于及都是首一的多项式,因此必有。证毕定理3两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相同。证明:由于任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯一的。换个说法既是,任一复数的对称矩阵合同于一个形式为的对角阵,从而有,两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相同。定理4数域上的阶矩阵,则与相似的充要条件是它们的特征矩阵与具有相同的行列式因子或不变因子。证明:显然不变因子被行列式因子唯一确定,反之,行列式因子也被不变因子唯一确定,由定理2及定理:“设,是数域上的矩阵,则与相似的充要条件是矩阵与相抵”