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学生毕业设计(论文)
题目
一元多项式最大公因式的解法
作者
院(系)
数学与应用数学系
专业
数学与应用数学
指导教师
答辩日期
2010年 5 月 28 日
摘要
,,判断所求最大公因式的多项式是否互素,接着对艾森斯坦判别法进行了更深的探索:如果存在不可约多项式,那么所求最大公因式是为1;若不互素,则利用本文所介绍的矩阵变换法去求解,并且较常用方法来说,用矩阵的初等变换运算更为快捷准确,最后对所有方法进行归纳总结以及评价.
关键词:一元多项式,最大公因式,艾森斯坦判别法,初等变换
目录
摘要 I
ABSTRACT II
1 引言 1
2 最大公因式概念及相关性质 1
1
1
3介绍求一元多项式最大公因式的方法 1
3
5
4结束语 7
参考文献 8
致谢 9
1引言
在求一元多项式最大公因式的方法的问题上,各种高等代数教材中已经做了许多介绍,但是在我们的实际应用或解题过程中,这些方法存在着运算复杂,,.
2最大公因式概念以及相关的性质
设是一个数域,是上的一元多项式环.
定义1 令和是的两个多项式,若的一个多项式同
时整除和,那么叫做和的一个公因式.
定义2 设是多项式和的一个公因式,若是能被和的每一个公因式整除,那么叫做和的一个最大公因式.
定义3 如果的两个多项式除零次多项式外不再有其他的公因式, 我们就说这两个多项式互素.
定理1
次因式外,和的最大公因式是唯一确定的,这就是说,若是和
的一个最大公因式,那么数域的任何一个不为零的数与的乘积而且当和不全为零多项式时,只有这样的乘积是和的最大公因式.
定理2 的两个多项式和互素的充分且必要条件是:在
中可以求得多项式和使:,即和的最
大公因式是1.
3介绍求一元多项式最大公因式的方法
在介绍求一元多项式最大公因式方法之前,首先引入以下一个判别法:
定理3(艾森斯坦判别法):设=
是一个整系数多项式,如果有一个素数,使得
;
,,;
.
那么在有理数域上是不可约的.
我们可以应用艾森斯坦判别法容易证明一个事实,那就是:在有理数域上
存在任意次数的不可约多项式. 所以,当我们求个一元多项式的最大公因式时
可先将一元多项式进行可约性的判别, 如果出现某一个一元多项式通过艾森斯坦
判别法得出它是不可约的, 或者其中某些多项式都是不可约多项式,那么,我们
就很容易得出这些一元多项式的最大公因式是1, 即它们之间彼此互素. 但是,
应用艾森斯坦判别法时应注意以下几点:
①若找不到相应的素数,则整系数多项式可能可约,也可能不可约.
②任意次数的不可约多项式都是存在的.
③一些整系数多项式不能直接用艾森斯坦判别法来判断是否可约, 但做变
形后可用该方法来判断.
艾森斯坦判别法的等价形式:
定理4 设是一个整系数多项式,若能找到一
个素数使得
;
;
.
那么多项式在有理数域上不可约.
证明反证法
假设多项式在有理数域上可约,则可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积:令
,
:
因为,是素数,所以或,但,即与不能同时成立.
不妨假定,,则的系数不能全被整除,否则的系数将被整除,.
考察等式其中(当时,令)已知,,因为而,则,这与矛盾,则在有理域上不可约.
说明:艾森斯坦判别法以及它的等价形式只局限于判别多项式的不可约性,即使是这样,有时应用起来还是较困难,因为有些多项式不能直接应用艾森斯坦判别法或它的等价形式作出判断,需要对它实施变换,,还有的多项式,因为它是可约的,就不能用以上方法判别.
所以,当我们在求多项式的最大公因式时,遇到不能利用艾森斯坦判别法以
及它的等价形式来判断多项式不可约的情况时,即不能得出多项式是互素的关系时,我们也可以用下面几种方法:
:
辗转相除法是求两个多项式的最大公因式的常用方法,,按照文献[1] [2] [3]中的介绍,辗转相除法求最大公因式时,往往会出现较为