文档介绍：立体几何及解题技巧以及空间距离专题复****知识点整理(一)平行与垂直的判断(1)平行:设的法向量分别为,则直线的方向向量分别为,平面线线平行∥∥;线面平行∥;面面平行∥∥(2)垂直:设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则线线垂直⊥⊥;线面垂直⊥∥;面面垂直⊥⊥(二)夹角与距离的计算注意:以下公式可以可以在非正交基底下用,也可以在正交基底下用坐标运算(1)夹角:设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则①两直线,所成的角为(),;②直线与平面所成的角为(),;③二面角─l─的大小为(),(2)空间距离点、直线、,两异面直线间的距离是难,点到平面的距离:(定理)如图,设是是平面的法向量,AP是平面的一条斜线,其中则点P到平面的距离(实质是在法向量方向上的投影的绝对值)异面直线间的距离:(的公垂向量为,分别是上任一点).ABCDabl题型一:非正交基底下的夹角、距离、,已知二面角a-l-b的大小为1200,点AÎa,BÎb,AC^l于点C,BD^l于点D,且AC=CD=DB=:(1)A、B两点间的距离;(2)求异面直线AB和CD的所成的角(3):设则(1),\A、B两点间的距离为2.(2)异面直线AB和CD的所成的角为600(3)设与AB、CD都垂直的非零向量为,由得①;由得②,令x=1,则由①、②可得z=-1,\,由法则四可知,:任何非正交基底下的证明、计算都先设基底,并将条件也用基底表示,特别证明线面平行时,如AB//平面PEF可以将有基底表示,,也用基底表示,最后用待定系数法,将λ和μ求出。例2。如图,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1。另一个侧面ABC是正三角形.(1)求证:AD⊥BC;(2)求二面角B—AC—D的大小;(3)在段线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,:(1)方法一:作AH⊥⊥BDHB⊥BD,∵AD=,BD=1∴AB==BC=AC∴BD⊥DC又BD=CD,则BHCD是正方形,则DH⊥BC.∴AD⊥BC,方法二:取BC的中点O,连AO、DO,则有AO⊥BC,DO⊥BC.∴BC⊥面AOD,∴BC⊥AD(2)作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,则∠BMN就是二面角B—AC—D的平面角.∵AB=AC=BC=,∴M是AC的中点,且MN//=由余弦定理得.(3)设E为所求的点,作EF⊥CH于F,连FD,则EF//AH,∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,则∠EDF=30°,设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x,FD=.故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°:(1)作AH⊥面BCD于H,连BH、CH、DH,则四边形BHCD是正方形,且AH=1,以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标系如图,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).(2)设平面ABC的法向量为=,同理,,二面角B—AC—D的大小应等于=,即所求二面角的大小是(3)设E(x,y,z)是线段AC上一点,则平面BCD的一个法向量为要使ED与面BCD成30°角,由图可知的夹角为60°,题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题例3、如题(18)图,在五面体中,∥,,,四边形为平行四边形,平面,.求:(Ⅰ)直线到平面的距离;(Ⅱ):(Ⅰ)平面,AB到面的距离等于点A到面的距离,过点A作于G,因∥,故;又平面,由三垂线定理可知,,故,知,所以AG为所求直线AB到面的距离在中,由平面,得AD,从而在中,。即直线到平面的距离为。(Ⅱ)由己知,平面,得AD,又由,知,故平面ABFE,所以,为二面角的平面角,,,由得,,从而在中,,:(Ⅰ)如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)设可得,,解得∥,面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则因且,而,此即解得①,知G点在面上,故G点在FD上.,故有②联立①,②解得,.(Ⅱ)因四边形为平行四边形,则可设,.由得,,因,,故为二面角的平面角,又,,,所以例3、如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,图4侧面SBC⊥∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA