文档介绍：:..{如}中,06+购+0|2+。15=20,求S20[思路]等差数列前n项和公式S”=⑷g :221、由已知直接求如,、利用性质m+n=0+q=>am+an=ap+aq[解题]由%十。9+d]2+°15=20 ,Q+。15=°9+®2= +。20,得2(^+«20)=20,a,+a20=10,...»=(4+:以20=]00[收获]灵活应用通项性质可使运算过程简化。第1变求和方法——a序相加法[变题1]等差数列{编}共10项,坷+E+。3+。4=20,an+an_x+an_2+an_3=60,求S*.[思路]已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想s“公式推导方法。[解题]已知aA+勺+色十偽=20,an+%+%_2+。心=60,又4(4+色)=80,得4+陽=20,•••S”=(®+卩"%斤=空%10=]00,[收获]1、重视倒加法的应用,恰当运用通项性质:m+n=p+q=>am+an-ap+伽,快捷准确;1、求Jlla,+an后运用“整体代换”手段巧妙解决问题第2变已知前n项和及前m项和,如何求前n+m项和[变题2]在等差数列{aj中,Sn=a,Sm=b.(m>n),求S卄的值。[思路]Sn,S〃,,S”卄下标存在关系:m+n二m+n,这与通项性质"2+〃=#+q=>爲+①=勺+伽是否冇关?[解题]由Sn=a,Sm=Sn+an+i+an+2+ +am=b得an+1+an_2+ +am=b-a,口"anU+a协Z x> 小Ggl+am b-a即-nil——(m_n)=b_a,得——= 2 2m一n由(n+l)+m=1+(n+m), 得a”〕+am=ai+am+n故S/n+n=®*"e(m+n)= (m+n)=—~—(in+/t).2 2 m-n第3变已知已知前n项和及前2n项和,如何求前3n项和[变题3]在等差数列{%}中,S10=20,S20=40,求S30[思路]由S]°,520,S30寻找S](),S20—S]°,S30—S20之间的关系。[解题]设数列{%}公差为d,t&0=q+色 Go,S20—S|0=a〕]+。12 Eo,S30—520=ci2\+^22 ^3o,(S2Q-S|o)—S|o=10x10^/,(S30-S20)-(S20—S]o)=lOxlOd‘所以S]o,Sqo—S]。,S30—Sqo成等差数列,公差iood,于是2($20—S]o)=S[()+(S30—Sqo),得53()=3(S2O—510)=3x20=600I收获]1、在等差数列{a*}中,S10,S20—S]0,S30—S2Q成等差数列,即4+ HSo,]+如 1-。20,。2]+。22 。30, ,成等差数列,且S30=3(S2o—S]°)。3、可推广为S5n=5(S3/J-S2n),Slfl=7(s4z,-S3n),……,S(2i“=(2R-1)[S仙-S(k_i)n]。第4变迁移变换重视Sx=Ax2+Bx的应用[变题4]在等差数列{aj中,Sn=m„Sm=n,(m>n),求S.+m的值。[思路]等羞数列前n项和公式是关于n的二次函数,若所求问题与无关时,常设为S=An2+Bn形式。I解题]由已知可设Sn=An2+Bn=mSm=Am2+Bm=n,两式相减,得A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n,又m>n,所以A(n+m)4-B=—1,得S=A(m+n)2+B(m+n)=(m+n)[A(m+n)+B]=一(tn+n)。[收获]“整体代换”设而不求,可以使解题过程优化。第5变归纳总结,发展提高[题目]在等差数列{aj中,Sn=a,Sm=b,(m>n),求S”的值。(仍以变题2为例)除上血利用通项性质m+n=p+q=>am+an=ap+伽求法外,还有多种方法。现列举例如下:1、基本量求解:由Sn=naA+ a==ma.+ a=b,” 1 2 1 2亠八/、「m4-/7-1“ fo (m+ +n-1).相减得(n-m)[a}+ d]-a-〃卄=(m+n)a}+ d小、扫O (m+ —b)代入得S叭”= 。n-m2、利用等差数列前x项和公式Sx=Ax2+Bx求解由Sx=Ax2+Bx,得Sn=An2+Bn,Sm=Anr+Bm两式相减»得A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b即A(n+加)+B=—―— 故Sm+IJ=A(m+n)2+B(m+n)="十川(a一b)n—m n-mS3、利用关系式二二+B求解nS S S S由= +B知与n成线性关系,从而点集{(n,」)}中的点共线,即5,亠),nnnn片°m+nab几+”Gsm(m,