文档介绍：高中数学选修4-2矩阵与变换

学****重点:会判别逆矩阵是否存在,如何求逆矩阵;
学****难点:熟练运用公式求逆矩阵;
学****目标:
,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件, 通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在;
(AB)-1=B-1A-1等简单性质;
;
;
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复****变换的复合与矩阵的乘法
:
(先TN,后TM)的复合变换.
,,,有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)可满足交换律.
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练一练
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创造情境
由前面学****我们知道:二阶矩阵对应着平面上的一个几
何变换,它把点(x ,y)变换到点(x′,y′).反过来:若知道变换后的结果(x′,y′),能否“找到回家的路”,再让它变回到原来的(x ,y)呢?
如图示:
(x ,y)
(x′,y′)
走过去
走回去
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创造情境
引例:对于下列给出的变换矩阵A,是否存在变换矩阵B,使得连续进行两次变换(先TA后TB)的结果与恒等变换的结果相同:
(1)以x轴为反射轴的反射变换;
(2)绕原点逆时针旋转600的旋转变换;
(3)横坐标不变,沿y轴方向将纵坐标伸长为原来的
2倍的伸压变换;
(4)沿y轴方向,向x轴的投影变换;
(5)纵坐标y不变,横坐标依纵坐标的比例增加,且
(x , y)→(x+2y , y)的切变变换;
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情境分析
(1)对于反射变换TA,满足条件的变换即为其自身,即B=A;
(2)对于旋转变换TA,存在旋转变换TB,即B为绕原点顺时针旋转600 的变换矩阵;
(3)对于伸压变换TA,存在伸压变换TB,即B为使平面的保持横坐标不变,纵坐标沿y轴方向压缩为原来的一半的变换矩阵;
(4)对于投影变换TA,不存在满足条件的变换矩阵B。
原因:投影变换不是一一映射;
(5)对于切变变换TA,存在切变变换TB,即B为使平面的保持纵坐标不变,横坐标依纵坐标的比例减少,且(x , y)→(x-2y , y)的变换矩阵;
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情境分析
由引例,我们可以得到:有的矩阵能“找到回家的路”,称它为原变换的逆变换,而逆变换也对应着一个矩阵,但并非所有的二阶矩阵A,都存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E.
那我们该如何对逆矩阵下一个合适的定义呢?
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则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.
一、概念的引入
在数的运算中,
当数时,
有
其中为的倒数,
(或称的逆);
在矩阵的运算中,
单位阵相当于数的乘法运算中
的1,
那么,对于矩阵,
如果存在一个矩阵,
使得
数学建构
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二、逆矩阵的概念和性质
1、定义对于阶矩阵,如果有一个阶矩阵
则说矩阵是可逆的,并
把矩阵称为的逆矩阵.
,使得
例设
注意: 要同时成立!
现在要解决的问题:
1. 二阶方阵满足什么条件时可逆?
2. 可逆时,