文档介绍：哈工大-数值分析上机实验报告————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 实验报告一题目:非线性方程求解摘要:非线性方程的解析解通常很难给出,因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。前言:(目的和意义)掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。数学原理:对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法:二分法和Newton法。对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b)<0,且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*,取区间中点c,若,则c恰为其根,否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个,从而得出新区间,仍称为[a,b]。重复运行计算,直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式产生逼近解x*的迭代数列{xk},这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快,但是当x0选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。另外,若将该迭代公式改进为其中r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton法,当求解已知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。程序设计:本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式,如下functiony=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可,下面给出主程序。二分法源程序:clear%%%给定求解区间b=;a=0;%%%误差R=1;k=0;%迭代次数初值while(R>5e-6);c=(a+b)/2;iff12(a)*f12(c)>0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序:clear%%%%输入函数f=input('请输入需要求解函数>>','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('inputinitialvaluex0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0),以确定初值x0时否就是解while(abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if(eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);breakendifk>max;%如果迭代次数大于给定值,认为迭代不收敛,重新输入初值ss=input('mayberesultiserror,chooseanewx0,y/n?>>','s');ifstrcmp(ss,'y')x0=input('inputinitialvaluex0>>');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0;%给出解结果分析和讨论:用二分法计算方程在[1,2]内的根。(,下同)计算结果为x=;f(x)=--007;k=18;由f(x)知结果满足要求,但迭代次数比较多,方法收敛速度比较慢。用二分法计算方程在[1,]内的根。计算结果为x=;f(x)=-006;k=17;由f(x)知结果满足要求,但迭代次数还是比较多。用Newton法求解下列方程x0=;计算结果为x=**********;f(x)=-016;k=4;由f(x)知结果满足要求,而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。x0=1;x0=,x0=;当x0=,计算结果为x=;f(x)=--014;k=4;由f(x)知结果满足要求,而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快,实际上该方程确实有真解x=。当x0=,计算结果为x=;f(x)=0;k=9;由f(x)知结果满足要求,实际上该方程确实有真解x=,但迭代次数增多,实际上当取x0〉,x≈1,就变成了方程的另一个解,这说明Newton法收敛与初值很有关系,有的时候甚至可能不收敛。用改进的Newton法求解,有2重