文档介绍：特征标理论
演讲者:刘
物理学
日期:2013-11-6
content
1、相关概念热身
2、特征标基本性质
3、特征标正交性与完备性
4、特征标表的构造
等价表示和非等价表示
当我们寻找一个群的全部表示是,只须考虑那些互不等价的表示。
可约表示和不可约表示
可约表示:设A是群G在表示空间V上的一个表示。如果V存在一个G不变的真子空间W(即W既不是空集或V本身)则称表示A是可约表示。亦即对任意y ∈W,任意g∈G,有A(g)y ∈W。 A(g)不把W中的向量变到W以外去。
不可约表示:G的表示A在V中不存在G不变真子空间。
可约表示可以用同一个相似变换将群元的表示矩阵D(A) 、D(B)、Λ同时变成具有相同块结构的块状对角矩阵;换言之,可进一步对角化的表示为可约表示。
正交性定理
设D(i)(R)和D(j)(R)是群G的两个ni,nj维的不等价不可约表示(R代表群G中的任一元),则有
其中,g是群G的阶,求和对一切群元进行。 ni是不可约表示D(i)(R)的维数。
用内积表示即:
(D(j)p (R)|D(i)ßq (R))= ij ij /ni
注:为什么叫正交性定理?
(1) i j: 两个不等价不可约(幺正)表示的基函数彼此正交;
(2) : 同一不可约(幺正)表示的基函数彼此正交
ij
正交
┌1i ┐┌1j ┐
∣2i ∣∣2j ∣
正交∣∣∣∣正交
∣∣∣∣
└nii ┘└njj ┘
完备性定理
设是有限群的所有不等价不可约酉(幺正)表示,则生成的群函数在群函数中间是完备的。
函数集{ }是的完备基。是群函数空间的正交归一基。群G的任意复函数可展为:
推论:
1、勃恩赛德(Burside)定理
有限群的所有不等价不可约酉表示维数的平方和,等于群的阶。即
2、正则表示L(gi)按不等价不可约酉表示可约化为
正则表示含不等价不可约酉表示的次数,等于该表示的维数。
:设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标为D(R)的对角元之和(迹)
X(R)=TrD(R)=
式中,R表示G的任一元
Daa是对角元,n是表示空间的维数。
群表示的特征标
特征标系:群G中所有的g个群元在D中的特征标
注:对可约表示和不可约表示同样适用,
第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
(1)单位矩阵的特征标等于它的阶,若表示是一维的,则特征标就是表示自身
(2)等价表示有相同的特征标
(由于相似变换并不改变矩阵的迹)
(3)属于同一共轭类的群元在同一表示中有相同的特征标,因此特征标是类的函数,独立的特征标个数等于类的个数
证明:Ri与Rj共轭,则有 R-1RiR=Rj
所以D(R-1)D(Ri)D(R)=D(Rj)
D-1(R)D(Ri)D(R)=D(Rj)
得:X(Ri)=X(Rj)(相似矩阵有相同的迹)