文档介绍：:..-矩阵及其标准型定理1-矩阵可逆的充分必要条件是行列式是非零常数引理2-矩阵=的左上角元素不为0,并且中至少有一个元素不能被它整除,那么一定可以找到一个与等价的使得且的次数小于的次数。引理3任何非零的-矩阵=等价于对角阵是首项系数为1的多项式,且引理4等价的-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子推论6两个-矩阵等价,当且仅当它们有相同的行列式因子,或者相同的不变因子推论7-矩阵可逆,当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论8两个等价当且仅当存在一个m阶的可逆-矩阵和一个n阶的-矩阵使得推论9两个-矩阵等价,当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩定理10设-矩阵等价于对角型-矩阵,若将的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的按照重复的次数计算)就是的全部初等因子。初等因子被不变因子唯一确定但,只要-矩阵化为对角阵,再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的必须重复计算)就为的全部初等因子,即不必事先知道不变因子,可以直接求得初等因子。矩阵的若当标准型定理1两个阶数字矩阵A和B相似,当且仅当它们的特征矩阵等价N阶数字矩阵的特征矩阵的秩一定是n因此它的不变因子有n个,且乘积是A的特征多项式推论3两个同阶矩阵相似,当且仅当它们有相同的行列式因子,或相同的不变因子,或相同的初等因子。定理4每个n阶复矩阵A都与一个若当标准型矩阵相似,这个若当标准型矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的。求解若当标准型及可逆矩阵P:根据数字矩阵写出特征矩阵,化为对角阵后,得出初等因子,根据初等因子,写出若当标准型J,设P(X1X2X3),然后根据得到P(X1X2X3)方阵矩阵的最小多项式定理1矩阵A的最小多项式整除A的任何零化多项式,且最小多项式唯一。N阶数字矩阵可以相似对角化,当且仅当最小多项式无重根。定理2矩阵A的最小多项式的根一定是A的特征值,反之,矩阵A的特征值一定是最小多项式的根。求最小多项式:根据数字矩阵写出特征多项式,根据特征多项式得到最小多项式的形式,然后根据确定最小多项式。矩阵的若干分解设A为n阶复矩阵,则存在酉矩阵Q和上三角阵R使得A=QR方法:根据数字矩阵列出,正交化单位化后,得到,即根据得R。奇异值分解设A是阶复矩阵,是A的所有的非零奇异值,则存在m阶酉矩阵P、n阶酉矩阵Q,使得其中,是对角阵,等式是A的奇异值分解对于一个阶复矩阵A来说,n阶方阵是半正定的,及特征值是全部大于或者等于0,这些特征值的平方根便是A的奇异值。求A的奇异值分解:根据数字矩阵A得到,根据特征矩阵得到特征值,并计算出每个特征值对应的特征向量,则满秩分解设则存在列满秩矩阵和行满秩矩阵使得A=CD求A的满秩分解:根据数字矩阵A写出分块矩阵(A E)进行初等行变换得(B P)其中B=,根据求得的P求出然后对进行列分块,得到C=。则A=(欧氏空间)A为过渡矩阵(对称且正定)N维欧氏空间V中两组不同基的度量矩阵是合同的。正交基及正交补①由欧氏空间V的任意一组基都可以构造出V