文档介绍：拉普拉斯变换(上海大学课件)。经典控制理论的系统分析方法:时域法、频域法。,获得系统输出随时间变化的规律。借助于系统频率特性分析系统的性能,拉普拉斯变换是其数学基础。频域分析法频域分析法是经典控制理论的核心,被广泛采用,该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。复数的表示法对于复数s=+j复平面:以为横坐标(实轴)、为纵坐标(虚轴)所构成的平面称为复平面或[s]平面。复数s=+j可在复平面[s]中用点(,)表示:一个复数对应于复平面上的一个点。o复平面[s]12j12s1=1+j1s2=2+j2①复数的向量表示法复数s=+j可以用从原点指向点(,)的向量表示。向量的长度称为复数的模:o12js1s2r1=|s1|r2=|s2|向量与轴的夹角称为复数s的复角:②复数的三角函数表示法与指数表示法根据复平面的图示可得:=rcos,=rsin复数的三角函数表示法:s=r(cos+jsin)o12js1s2r1=|s1|r2=|s2|欧拉公式:复数的指数表示法:③复变函数、极点与零点的概念以复数s=+j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数:G(s)=u+jv式中:u、v分别为复变函数的实部和虚部。=-zi时,G(s)=0,则si=-zi称为G(s)的零点;分子为零分母为零通常,在线性控制系统中,复变函数G(s)是复数s的单值函数。即:对应于s的一个给定值,G(s)就有一个唯一确定的值与之相对应。当复变函数表示成(b)当s=-pj时,G(s)→∞,则sj=-pj称为G(s)的极点。例:当s=+j时,求复变函数G(s)=s2+1的实部u和虚部v。:G(s)=s2+1=(+j)2+1=2+j(2)-2+1=(2-2+1)+j(2),其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后,变成复变量s的乘积,将时间表示的微分方程,变成以s表示的代数方程。:在一定条件下,把实数域中的实变函数f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数F(s)。设有时间函数f(t),当t<0时,f(t)=0;在t≥0时定义函数f(t)的拉普拉斯变换为:拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件:①当t≥0时,f(t)分段连续,只有有限个间断点;②当t→∞时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,,对于Res>a的所有复数s(Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛,故Res>a是拉普拉斯变换的定义域,a称为收敛坐标。式中:M、a为实常数。