文档介绍：第四讲
函数的奇偶性
注:若函数 f(x) 不具有上述性质, 则称 f(x) 不具有奇偶性; 若函数同时具有上述两条性质, 则 f(x) 既是奇函数, 又是偶函数.
例: 函数 f(x)=0(x∈D, D关于原点对称)是既奇又偶函数.
相同
相反
奇函数
偶函数
奇函数
(3)奇函数: f(0)=0(0 在定义域中)
偶函数: f(x)=f(|x|)
3、函数奇偶性的判定方法
(1).根据定义判定:
首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称, 则函数是非奇非偶函数;
若对称, 再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x).
(2).利用定理, 借助函数的图象判定:
(3).性质法判定:
在公共定义域内,
两奇函数之积(商)为偶函数;
两偶函数之积(商)也为偶函数;
一奇一偶函数之积(商)为奇函数.
(注意取商时分母不为零!)
有时判定 f(-x)=±f(x) 比较困难, 可考虑判定 f(-x)  f(x)=0
或判定=1.
f(x)
f(-x)

①函数f(x) =ax+a-x(a>0且a≠1)为____函数,函数f(x) =ax-a-x(a>0且a≠1)为____函数;
②函数f(x) =loga (a>0,且a≠1)为奇函数;
③ f(x) =loga(x+ )(a>0,且a≠1)为奇函数
偶
奇
例2
[思路]分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的单调性。