文档介绍：第三章  微分中值定理与导数的应用第二讲  洛必达法则 泰勒公式目的 ;;; ; 使学生深刻理解泰勒中值定理的精髓. 一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题,并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在,,,通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式,,不能应用商的极限运算法则,,并着重讨论当时,型未定式极限的计算, 1  设(1)当时,函数及都趋于零;(2)在点的某去心邻域内,及都存在,且 ;(3)存在(或为无穷大),则 .也就是说,当存在时,也存在,且等于;当为无穷大时,,通过分子分母分别求导,再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达(L’Hospital):分析  由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题,,  因为求极限与及的取值无关,(1)和(2)知,,则在以及为端点的区间上,函数和满足柯西中值定理的条件,因此在和之间至少存在一点,使得等式 (在与之间),注意到时,(或为无穷大), 若仍为型未定式,且此时和能满足定理1中和所要满足的条件,则可以继续使用洛必达法则先确定,从而确定和, 求 .分析  当时,分子分母的极限皆为零,故属于型不定式,  .   .  注  求 .解 .例4 求 .解    .注 (1)在例4中,如果我们不提出分母中的非零因子,则在应用洛必达法则时需要计算导数,,在应用洛必达法则求极限时,特别要注意通过提取因子,作等价无穷小代换,利用两个重要极限的结果等方法,.(2)例4中的极限已不是未定式,不能对它应用洛必达法则,,不是未定式, 设(1)当时,函数及都趋于零;(2)当时,与都存在,且;(3) 存在(或为无穷大),则   .同样地,对于(或)时的未定式,   设(1)当(或)时,函数及都趋于无穷大;(2)在点的某去心邻域内(或当时),及都存在,且;(3)存在(或为无穷大),则  .例5     .例6   .事实上, 由例5和例6可见,当时,函数都是无穷大,但三个函数增大的“速度”是不一样的,最快,其次是,,,   因为,,, . 而 是型未定式,是型未定式, .例8   因为,,, .注 讨论型未定式的极限,一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式,   这是一个幂指函数求极限的问题,由于, ,而是型未定式,  .例10 求 .分析  由于,, ,而是型未定式,  .由于, 求 .分析  由于,, ,而是型未定式,  .由于 ,所以 .型未定式向或型未定式的转化可形式地表示为:   或    ; (或);  (或);(或).最后我们指出,,所求的