文档介绍：初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要:如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,(如771,54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001,22743,17567,21281等)能被7整除的数的特征: ①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。如 1001 100-2=98(能被7整除)又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除)能被11整除的数的特征: ①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如 1001 100-1=99(能11整除)又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 第二讲倍数约数一、内容提要1、两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。2、因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。如0是7的倍数,7是0的约数。3、整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,……。4、整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1,±2,±3,±6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。7、在有余数的除法中,被除数=除数×商数+余数。若用字母表示可记作:A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除。例如23=3×7+2,则23-2能被3整除。第三讲质数合数一、内容提要1、正整数的一种分类: 质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。根椐质数定义可知质数只有1和本身两个正约数。质数中只有一个偶数2。如果两个质数的和或差是奇数,那么其中必有一个是2; 如果两个质数的积是偶数,那么其中也必有一个是2。 3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。第四讲零的特性一、内容提要(一)零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数,是整数,是偶数。1、零是表示具有相反意义的量的基准数。例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元。2、零是判定正、负数的界限。若a>0则a是正数,反过来也成立,若a是正数,则a>0记作 a>0a是正数读作a>0等价于a是正数 b<0b是负数 c≥0c是非负数(即c不是负数,而是正数或0) d0d是非正数(即d不是正数,而是负数或0) e0e不是0(即e不是0,而是负数或正数)3、在一切非负数中有一个最小值是0。例如绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是0。记作:|a|≥0,当a=0时,|a|的值最小,是0,a2≥0,a2有最小值0(当a=0时)。4、在一切非正数中有一个最大值是0。例如-||≤0,当=0时,-||值最大,是0(∵≠0时都是负数)。 0,当=2时,的值最大,是0。(二)零具有独特的运算性质1、乘方:零的正整数次幂都是零。2、除法:零除以任何不等于零的数都得零;零不能作除数。从而推出,0没有倒数,分数的分母不能是0。3、乘法:零乘以任何数都得零。即a×0=0,反过来,如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。4、加法:互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。即a、b互为相反数a+b=05、减法:两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定,若a-b=0,则a=b;若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b。反过来也成立,当a=b时,a-b=0;当a>b时,a-b>0;当a<b时,a-b<0.(三)在近似数中,当0作为有效数字时,它表示不同的精确度。,(即1分米),误差不超过5厘米;(即1厘米),误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下: