文档介绍：初中数学竞赛精品标准教程及练习(59)
“或者”与“并且”
一、内容提要
1.“或者”与“并且”的词义是清楚的,区别也是明显的. 例如:
正整数a是3或5的倍数,那么a=3, 5, 6, 9, 10, 12, 15……;
如果正整数b是3的倍数且是5的倍数,那么b=15,30,45,60,…….
在正整数中,设3的倍数的集合为P,5的倍数集合为Q,那么:
a 是P和Q两个集合中的所有元素,而b是这两个集合中的公共元素.
②是方程x+y=1的一个解. 这里的大括号表示“并且”即当
x=2并且y=-1时,等式x+y=1成立.
等价于x=2并且y=-1.
记作 x=2并且y=-1.
x=2, x=-2是方程x2-4=0 的两个解.
即当x=2或者x=-2时,等式x2-4=0成立.
x=2或x=-2 可记作 x=±2 .
即 x=±2 x=2或x=-2.
2. 用“或者”与“并且”表示命题的等价命题.
①.x≥4x>4或x=4.
②.-4<x<4x>-4且x<4
③.x ≠2x<2或x<2
④.x≠±2x≠2且x≠-2
x<-2 或-2< x<2 或x>2 (实数x记在数轴上)如图:
-2 0 2
3. 判断带有“或者”词义的命题的真假:
第一种,命题结论带有“或者”的. 例如:
命题3≥2,读作3大于2或等于2,它是真命题. 因为“3大于2”,
“3等于2”两个命题,用“或者”连结,只要有一个成立,就是真命题.
⑥命题“如果a=0,那么a2≥0”,也是真命题,因为这个命题等价于:
若a=0, 则a2>0或a2=0,两个结论,用“或者”连结,有一个成立即可.
第二种,命题的题设出现“或者”的. 例如
命题“如果a≥0,则a2=0”. 读作如果a=0或a>0, 则a2=0. 它是假命题因为命题的两个题设都使结论成立是不可能的. 这个命题等价于: 若a=0,则a
2=0且若a>0,则a2=0. 两个命题要同时成立才是真命题.
方程和方程组的解:
方程( x-a)(x-b)=0, 同解于x-a=0或者x-b=0.
方程组同解于x-a=0并且x-b=0.
不等式和不等式组的解集:
不等式组等价于x+a>0并且x+b>0.
不等式(x+a)(x+b)>0 等价于或者
二、例题
:
①实数a, b, c都不为零; ②实数a,b,c不都为零; ③x=±3且y=±2; ④
解:①. a, b, ≠0且b≠0且c≠≠0.
②. a, b, c不都为零a, b, c中至少有一个不为零.
a≠0或b≠0或c≠0.
不是a, b, c都等于零.
a2+b2+c2≠0.
③. x=±3且y=±2
或或或④. 或
例2. 解方程组
解:由x2=4,得x=±2.
把x=±+y2=6, 得y=±.
∴原方程组的解是
即原方程组有四个解:
例3. 已知:a, b, c是△ABC的三边,试按下列条件判定三边之间的大小关系:
①(a-b)(b-c)=0 ; ②(a-b)2+(b-c)2=0.
解:①∵当a-b=0或b-c=0时,等式成立.
∴a, b, c三边的大小关系是:
a=b;或b=c;或a