文档介绍：圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆
一、椭圆定义
椭圆三定义,简称和比积.
1、定义1:(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.
定点为焦点,定值为长轴.(定值=)
2、定义2:(比),定直线为准线,定值为离心率.(定值=)
3、定义3:(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.
定点为短轴顶点,定值为负值. (定值)
二、椭圆的性质定理
长轴短轴与焦距,形似勾股弦定理①
准线方程准焦距,方、方除以②
通径等于 2 ,切线方程用代替③
焦三角形计面积,半角正切连乘④
注解:
1、长轴短轴与焦距,形似勾股弦定理
长轴,短轴,焦距,则:
2、准线方程准焦距,方、方除以
准线方程: (方除以)
准焦距:焦点到准线的距离: (方除以)
3、通径等于2 ,切线方程用代替
椭圆的通径:过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离
称为椭圆的通径.(通径)
过椭圆上点的切线方程,用等效代替椭圆方程得到.
等效代替后的是切线方程是:
4、焦三角形计面积,半角正切连乘
焦三角形:以椭圆的两个焦点为顶点,.
则焦三角形的面积为:
证明:设,,则.
由余弦定理:
即:,即:.
即:
故:
又:
所以:椭圆的焦点三角形的面积为.
三、椭圆的相关公式
切线平分焦周角,称为弦切角定理①
切点连线求方程,极线定理须牢记②
弦与中线斜率积,准线去除准焦距③
细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹④
注解:
1、切线平分焦周角,称为弦切角定理
弦切角定理:切线平分椭圆焦周角的外角,平分双曲线的焦周角.
F1
F2
O
切线方程
P
T
焦周角是焦点三角形中,焦距所对应的角.
弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角,当弦为焦点弦时(过焦点的弦),那么切线是两个焦点弦的角平分线.
2、切点连线求方程,极线定理须牢记
若在椭圆外,则过作椭圆的两条切线,切点为,则点和切点弦分别称为椭圆的极点和极线.
切点弦的直线方程即极线方程是(称为极线定理)
3、弦与中线斜率积,准线去除准焦距
,,等于准线距离去除准焦距,其结果是:
4、细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹
中点弦的方程:在椭圆中,若弦的中点为,弦称为中点弦,则中点弦的方程就是,是直线方程.
弦中点的轨迹方程:在椭圆中,过椭圆内点的弦,其中点的方程就是,仍为椭圆.
这两个方程有些相似,要擦亮眼睛,千万不要搞混了.
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线
一、双曲线定义
双曲线有四定义,差比交线反比例
1、定义1:(差)平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为定值(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。即:
2、定义2:(比)平面内,到给定一点及一直线的距离之比为定值的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线。
3、定义3:(交线)一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线。
4、定义4:(反比例)在平面直角坐标系中,反比例函数的图象称为双曲线。
证明:反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.
证明:因为的对称轴是, ,而的对称轴是轴,轴,所以应该旋转. 设旋转的角度为(,顺时针)(为双曲线渐进线的倾斜角)
则有:,
取,则:
而,所以,
即: ()或()
由此证得,反比例函数其实就是双曲线的一种形式,只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
二、双曲线的性质定理
基本同椭圆,有所区别:
实轴虚轴与焦距,形似勾股弦定理①
准线方程准焦距,方、方除以②
通径等于 2 ,切线方程用代替③
焦三角形计面积,半角余切连乘④
注解:
1、实轴虚轴与焦距:形似勾股弦定理
实轴,虚轴,焦距,则:
2、准线方程准焦距,方、方除以
准线方程: (方除以)
准焦距:焦点到准线的距离: (方除以)
3、通径等于2 ,切线方程用代替
双曲线的通径:过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.(通径)
过双曲线上点的切线方程,用等效代替双曲线方程得到,等效代替后的是切线方程是:
4、焦三角形计面积,半角余切连乘
焦三角形:以双曲线的两个焦点为顶点,.
双曲线的左右焦点分别为,点为双曲线上异于顶点任意一点,则双曲线的焦点三角形满足:
其面积为;.
证明:设,则
在