文档介绍：第12讲巧求周长
我们知道:
这两个计算公式看起来十分简单,但用途却十分广泛。用它们可以解决许多直角多边形(所有的角都是直角的多边形)的周长问题。这是因为直角多边形总可以分割成若干个正方形或长方形。
例如,下面的图形都可以分割成若干个正方形或长方形,当然分割的方法不是唯一的。
由此,可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目。
例1一个苗圃园(如左下图),周边和中间有一些路供人行走(图中线段表示“路”),几个小朋友在里面观赏时发现:从A处出发,在速度一样的情况下,只要是按“向右”、“向上”方向走,几个人分头走不同的路线,总会同时达到B处。你知道其中的道理吗?
分析与解:如右上图所示,将各个交点标上字母。由A处到B处,按“向右”、“向上”方向走,只有下面六条路线:
(1)A→C→D→E→B;
(2)A→C→O→E→B;
(3)A→C→O→F→B;
(4)A→H→G→F→B;
(5)A→H→O→E→B;
(6)A→H→O→F→B。
因为A→C与H→O,G→F的路程一样长,所以可以把它们都换成A→C;同理,将O→E,F→B都换成C→D;将A→H,C→O都换成D→E;将H→G,O→F都换成E→B。这样换过之后,就得到六条路线的长度都与第(1)条路线相同,而第(1)条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+宽”,也就是说,每条路线的长度都是“长+宽”。路程、速度都相同,当然到达B处的时间就相同了。
例2 计算下列图形的周长(单位:厘米)。
解:(1)将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见左下图),这样正好移补成一个正方形,所以它的周长为25×4=100(厘米)。
(2)与(1)类似,可以移补成一个长方形,周长为
(10+15)×2=50(厘米)。
例3 求下面两个图形的周长(单位:厘米)。
解:(1)与例2类似,可以移补成一个长(15+10+15)厘米、宽(12+20)厘米的长方形,所以周长为
(15+10+15)×2+(12+20)×2=144(厘米)。
(2)设想先把长20厘米的线段向上平移到两条长15厘米的线段中间,构成一个长60厘米,宽(15+20+15)厘米的长方形,此时,还有两条长35厘米的竖线段。所以周长为
60×2+(15+20+15)×2+35×2=290(厘米)。
例4在一张纸上画出由四个边长为3厘米的正方形拼凑或组合成的图形(重叠的线段只算画一次)。显然,这个图形有多种多样的画法,下列各图是其中的一部分画法。在所有的这些画法中,
(1)哪种画法画出的线段总长最长?有多长?
(2)哪种画法画出的线段总长最短?有多长?
分析与解:画的线段重叠部分越少,画的线段就越长。反之,重叠部分越多,画的线段就越短。因此,类似图1那样画的线条最长,共画了
3×4×4=48(厘米)。
右图画的线条最短,共画了
(3+3)×6=36(厘米)。
例5下图是一个方形螺线。已知两相邻平行线之间的距离均为1厘米,求螺线的总长度。
分析与解:如左下图所示,按箭头方向转动虚线部分,