文档介绍：: 循环性是指任一码组循环一位后仍然是该编码中的一个码组。例:一种(7,3)循环码的全部码组如下表中第2码组向右移一位即得到第5码组;第5码组向右移一位即得到第7码组。码组编号信息位监督位码组编号信息位监督位A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a010000000510010112001011161011100301011107110010140111001811100101一般情况若(an-1an-2…a0)是循环码的一个码组,则循环移位后的码组: (an-2an-3…a0an-1) (an-3an-4…an-1an-2) ……(a0an-1…a2a1)仍然是该编码中的码组。多项式表示法一个长度为n的码组(an-1an-2…a0)可以表示成上式中x的值没有任何意义,仅用它的幂代表码元的位置。例: 在整数运算中,有模n运算。例如,在模2运算中,有 1+1=20(模2), 1+2=31(模2),23=60(模2)等等。一般说来,若一个整数m可以表示为式中,Q为整数,则在模n运算下,有 mp(模n) 所以,在模n运算下,一个整数m等于它被n除得的余数。3码多项式的按模运算若任意一个多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除,得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x),即则在按模N(x)运算下,有这时,码多项式系数仍按模2运算。例1:x3被(x3+1)除,得到余项1,即例2: 因为 x x3+1x4+x2+1 x4+x x2+x+1 在模2运算中加法和减法一样。4循环码的数学表示法在循环码中,设T(x)是一个长度为n的码组,若则T(x)也是该编码中的一个码组。上式中的T(x)正是码组T(x)向左循环移位i次的结果。例:一循环码为1100101,即若给定i=3,则有上式对应的码组为0101110,它正是T(x)向左移3位的结果。结论:一个长为n的循环码必定为按模(xn+1)运算的一个余式。5循环码的生成有了生成矩阵G,就可以由k个信息位得出整个码组: 例: 式中, 生成矩阵G的每一行都是一个码组。因此,若能找到k个已知的码组,就能构成矩阵G。如前所述,这k个已知码组必须是线性不相关的。在循环码中,一个(n,k)码有2k个不同的码组。若用g(x)表示其中前(k-1)位皆为“0”的码组,则g(x),xg(x),x2g(x),,xk-1g(x)都是码组,而且这k个码组是线性无关的。因此它们可以用来构成此循环码的生成矩阵G。6在循环码中除全“0”码组外,再没有连续k位均为“0”的码组。否则,在经过若干次循环移位后将得到k位信息位全为“0”,但监督位不全为“0”的一个码组。这在线性码中显然是不可能的。因此,g(x)必须是一个常数项不为“0”的(n-k)次多项式,而且这个g(x)还是这种(n,k)码中次数为(n–k)的唯一一个多项式。因为如果有两个,则由码的封闭性,把这两个相加也应该是一个码组,且此码组多项式的次数将小于(n–k),即连续“0”的个数多于(k–1)。显然,这是与前面的结论矛盾的。我们称这唯一的(n–k)次多项式g(x)为码的生成多项式。一旦确定了g(x),则整个(n,k)循环码就被确定了。7生多项式的性质:(1)g(x)是一(n-k)次多项式;(2)g(x)的常数项不为0;(3)g(x)必须是(xn+1)的一个因子。8因此,循环码的生成矩阵G可以写成例: 上表中的编码为(7,3)循环码,n=7,k=3,n–k=4,其中唯一的一个(n–k)=4次码多项式代表的码组是第二码组0010111,与它对应的码多项式,即生成多项式,为 g(x)=x4+x2+x+1。码组编号信息位监督位码组编号信息位监督位A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a010000000510010112001011161011100301011107110010140111001811100109g(x)=x4+x2+x+1即“10111” 将此g(x)代入上矩阵,得到或上式不符合G=[IkQ]形式,所以它不是典型生成矩阵。但它经过线性变换后,不难化成典型阵。此循环码组的多项式表示式T(x): 上式表明,所有码多项式T(x)都能够被g(x)整除,而且任意一个次数不大于(k–1)的多项式乘g(x)都是码多项式。10