文档介绍：基于Matlab环境优化Taylor中值定理教学
(作者:___________单位: ___________邮编: ___________)
作者:高明海刘守鹏刘琳孔杨刘芳祈爱琴
【摘要】《高等数学》中Taylor中值定理,把传统的教学模式“讲授记忆”教学过程变成“直觉探索思考猜想验证”的探究式教学过程。充分利用计算机强大的计算能力和图形处理功能,实现科学合理的多媒体教学.
【关键词】 Matlab; Taylor中值定理; 多媒体
1 引言
数学实验课程在大学悄然兴起,促使数学实验室从无到有、从小到大,“直觉探索思考猜想验证”的探究式学习有了物质基础。优秀软件Matlab在多媒体教学中占据了一席之地,PPT与Matlab界面可以通过超级链接等多种方式方便切换。在Matlab环境中,简单的操作界面具有一定的人机交流对话功能,有利于学生发挥主体性、提高学习主动性和创造性。在自主操作过程中,学生对数学概念和公式的理解得到深化,学习兴趣增强。所以,合理使用Matlab软件可以大大缩短抽象和直观、理论和实践的认识过程。
2 在Matlab环境中学习Taylor定理
在近似计算和误差理论分析以及级数学习中,Taylor中值定理有着非常重要的地位和作用。学生在学习Taylor中值定理时,学生往往只知其然不知其所以然,只能从教材中有限的静态图像中被动接受,对公式的实质不了解或不甚了解,所以学生对Taylor中值定理之美少有体会。在Matlab界面中,可以排除
“讲授记忆”课堂教学模式中许多不能解决的许多障碍。
问题提出
定理1 若f(x)在x0处可导,则在x0的某个邻域内有
f(x)=f(x0)+f ‘(x0)(x-x0)+o(x-x0),
或记为f(x)≈f(x0)+f ‘(x0)(x-x0) (1)
例1 当|x|很小时,ex≈1+x,sinx≈x (如图1、2)。图1 exp(x),1+x 图2 sin x,x
例1两个关系的Matlab语句分别为:
x=-2::2;
plot(x,exp(x),x,1+x,)
grid on;axis equal
axis([- -1 8])
x=-pi::pi;
plot(x,sin(x), x,x,)
grid on;axis equal
axis([-pi pi -2 2])
grid on和axis equal语句可以省略,只是图像中失去网格线、纵横坐标轴比例失调。
直觉会激发学生的想象。通过探索与思考,学生会思考这样的问题:当|x|很小时,才能保证公式(1)式的精度,如果需要较大范围怎么办呢?也就是说,怎么保证在离坐标原点较远处也有较小的误差呢?这一点可以通过提高导数的阶数来保证。
问题分析
在微积分学中,多项式函数pn(x)显示出简洁性、易操作性。定理1就是以一次多项式p1(x)近似代替f(x),公式(1)右边多项式部分提取了f(x)的位置和倾斜度信息,说明了用一次函数p1(x)近似表示函数f(x),p1(x)与 f(x)在一定范围内就吻合得较好,如图1。根据导数的意义可以知道,f(x0)、f
’(x0)、f’