文档介绍：第五章二次型§1二次型及其矩阵表示教学目的:了解二次型的有关概念,:::一、二次型及其矩阵表示设是一个数域,一个系数在数域中的的二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型,,系数在数域P中的一组关系式(2)称为由到的一个线性替换,,那么线性替换(2)(1)可写成把(3)的系数排成一个矩阵(4)它称为二次型(3),因此,(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的一半,而是项的系数,,若二次型且,,于是线性替换(4),二次型还是变成二次型,替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系,(7)是一个二次型,作非退化线性替换(8)得到一个的二次型 ,二、(8)代入(7),有易看出,矩阵也是对称的,。定义2数域P上两个阶矩阵,称为合同的,如果有数域P上可逆的矩阵,,具有以下性质:1)自反性:)对称性:如果与合同,)传递性:如果与合同,与合同,,经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。这样把二次型的变换通过矩阵表示出来,为以下的讨论提供了有力的工具。最后指出,在变换二次型时,总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看,这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地,当线性替换是非退化时,,.§2标准形教学目的:了解二次型的标准形,:::一、二次型的标准型二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型.(1)定理1数域上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和(1),二次型(1)的矩阵是对角矩阵,反过来,,经过非退化的线性替换,二次型的矩阵变到一个合同的矩阵,因此用矩阵的语言,定理1可以叙述为:定理2在数域上,,、,则上述变量替换相应于合同变换为计算,,这里为的转置,,由归纳法假定,有可逆矩阵使为对角形,令,于是,这是一个对角矩阵,,只要把的第一行与第行互换,再把第一列与第列互换,就归结成上面的情形,根据初等矩阵与初等变换的关系,,,左上角第一个元素就是,,作合同变换可以把搬到第一行第二列的位置,,取,于是的左上角就是,,,,,.§3唯一性教学目的:理解实系数和复系数二次型的规范性,:::经过非退化线性替换,§4定理4,合同的矩阵有相同的秩,这就是说,经过非退化线性替换后,,,在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关,,,二次型的标准形不是唯一的,,由本章定理1,经过一适当的非退化线性替换后,变成标准形,不妨假定化的标准形是.(1),再作一非