文档介绍：:..微积分论文高等数学论文浅谈微积分中的反例摘要:本文列举了微积分屮常见的典型反例,并论述了反例在微积分教学中的作用:一方面可以强化概念、揭示概念的内涵,准确把握概念之间的关系,透彻理解定理的条件;另一方面有助于培养学生的逆向思维能力,更有助于培养学生的数学技能。关键词:反例;微积分;函数;微分;积分0引言用命题形式给出的一个数学问题,要判断它是错误的,利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证,就足以否定这个命题,这就是反例。通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。反例思想是微积分中的重要思想,用逆向思维方法从问题反面出发,可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。在微积分中存在大量的反例,其意义远远超过了它的具体内容,除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外,还促进了学生的辨证思维方式的形成。1连续、可导、可微问题微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系,可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。情形1若函数f(X)在a连续,则函数f(X)在a也连续,但其逆命题不成立。反例:函数f(x)=1,x?叟0-1,xvO,虽然f(x)=1在x=0处连续,但f(x)在x=0处不连续。情形2可导函数必定是连续函数。那么“连续函数必定是可导函数?答:不一定。反例:函数f(x)=x+l,在x=0连续,但在x=0不可导,事实上,f(x)=x+l=l=f(0),所以f(x)在x=0连续;但极限二二1或-1不相等,所以f(x)在x=0不可导。情形3函数f(x)在x=xO处可导,则函数f(x)在x=xO的邻域内不一定连续。反例:函数f(x)=x,x为有理数0,x为无理数,在x=0处可导,但在0点的任何邻域,除0点外都不连续。情形4f(x)在x=xO处可导,则f(x)在x=xO处是否有连续导数?反例:函数f(x)=xcosxH00x=0在x=0处可导,但导数不连续。事实上,f‘(0)===xcos=0,即f(x)在x=0处可导,但当xH0时,ff(x)=2xcos-xsin•-=2xcos+sin极限f‘(x)=2xcos-xsin•-=2xcos+sin不存在,即f(x)的导数不连续。综上归结,对一元函数f(x)在点xO可有:可微?圳可导连续有极限。通过恰当的反例可以快捷而准确地把握它们之间所存在的关系。情形5当f(xO)HO时,由f(x)在xO可导不一定能推出f(x)在xO可导。反例:函数f(x)=x,xW[0,l]-x,xW[l,2],而f(x)=x,x丘[0,2],显然f(x)在xO=l处可导,但f(x)在x0=l处不可导。情形6下面命题是否成立:若f(x)在(a,b)内可导,则在(a,b)内必定存在g,使得f‘(U=?事实上,举岀这样的反例:f(x)=x,02可积问题情形7若函数f(x)在区间[a,b]上可积,则函数f(x)在区间[a,b]上也可积,且f(x)dx?燮f(x)dx,但其逆命题不成立,即当函数f(x)在区间[a,b]上可积时,函数f(x)在区间[a,b]上不一定可积。反例:函数f(x)=bx为有理数x为无理数函数在[0,1]上不可积,而f(x)三1,这