极大值原理.pdf

文档介绍：第三章极大值原理(MaximumPrinciple)前面介绍的变分法属于经典变分学的内容。经典变分学只能解决容许控制属于开集的一类最优控制问题,而且对轨线x(t)、函数L、f均有连续可微要求。实际工程应用问题中,这些要求一般无法得到满足。为解决容许控制属于闭集的一类最优控制问题,前苏联数学家庞特里亚金(俄文ЛОНТЛЯТИН,英文Pontryagin)受力学中Hamilton原理启发,于1958年提出极大值原理并加以证明。极大值原理将经典变分学推进到现代变分学,成为现代控制理论的重要基石。极大值原理(MaximumPrinciple),或称最大值原理,也有称为极小值原理或最小值原理(MinimumPrinciple)。极大值原理的证明在数学上非常严格,本课程只从工程应用需要的理解程度出发对其进行简单推导。正常场定义3-1:若(t,x)平面某一区域D上每一点都有曲线族中一条且仅有一条通过,则称曲线族在区域D上形成一个正常场。曲线族上点(t,x)处的切线的角系数称为场在点(t,x)的斜率。中心场定义3-2:若区域D上曲线族的全部曲线都通过一点(t0,x0),即它们形成曲线束,且束心也属于D,同时除束心外,曲线在D内不再相交,曲线布满区域D,则该场为中心场。极值曲线场定义3-3:若正常场或中心场是由某一变分问题的极值曲线族所形成,则称之为极值曲线场。维尔斯特拉斯E函数(WeierstrassErdmannFunction)设有泛函tJ(x)fL[x(t),x(t),t]dtt0若用p(x,t)表示其极值曲线场中极值曲线斜率,则可以证明泛函增量可表示为tJ(x)fE[x(t),x(t),p(x,t),t]dtt0其中E[x,x,p,t]L[x,x,t]L[x,p,t][xp]L[x,p,t]p称为维尔斯特拉斯E函数。泛函J在曲线上达到极值的充分条件设泛函J在曲线c上达到极值,可分为弱极值和强极值两种情况,其充分条件分别为:对于弱极值,①曲线c应是满足极值条件的极值曲线;②极值曲线c能够被包含在极值曲线场中;③对于c近旁所有点(x,t)以及近于p(x,t)的x值,函数E(x,x,p,t)不变号,极小值时E≥0,极大值时E≤0。对于强极值,①曲线c应是满足极值条件的极值曲线;②极值曲线c能够被包含在极值曲线场中;③对于近旁所有点以及任意的值,函数c(x,t)xE(x,x,p,t)不变号,极小值时E≥0,极大值时E≤0。考虑系统状态方程x(t)f[x(t),u(t),t](3-2-1)其中,x(t)Rn,u(t)Rm,m≤n初始状态x(t0)x0(3-2-2)终态满足[x(tf),tf]0(3-2-3)r其中,R,r≤n。u(t)属于有界闭集Ω,受不等式g[x(t),u(t),t]≥0(3-2-4)约束,g为p维连续可微函数,p≤m。求最优控制u*(t),满足上列条件,并使性能指标tJ(u)[x(t),t]fL[x(t),u(t),t)]dt(3-2-5)fft达到极小值。0u(t)有界并受不等式约束,与前面讨论的问题不同。u(t)有界一般可以考虑为是分段连续函数,对不等式约束则要设法转化为等式约束处理。引进新变量Z(t)和w(t),取2(3-2-6)[Z(t)]g[x(t),u(t),t],Z(t0)0(3-2-7)w(t)u(t),w(t0)0•取Z2g可以保证g非负;而由u(t)的分段连续性,有w(t)的分段连续性,则进一步有w(t)分段光滑连续。因此,可以采用Lagrange乘子法进行求解。•分别取Lagrange乘子Rn,Rr,R,构造p广义性能指标TJa(u)[x(tf),tf](t)[x(tf),tf]tf{L(x,w,t)T[f(x,w,t)x]T[g(x,w,t)Z2]}dt(3-2-8)t0定义H(x,,w,t)L(x,w,t)Tf(x,w,t)(3-2-9)F(x,x,w,Z,,,t)H(x,,w,t)TxT[g(x,w,t)Z2](3-2-10)则有tJ(u)[x(t),t]T(t)[x(t),t]fF(x,x,w,Z,,,t)dtafffft0(3-2-11)求其一阶变分有JJJJJ()atfxwZ3-2-12其中TtftfJ{TFdt}t{F}ttfttfftfftfftftf(3-2-13)tfFFJxT{T}{xTxT}