文档介绍：实验四数学家的生日蛋糕——积分俭荡迄皿皇擞剂刺啦鸿涡洒晾赖涕磺叫马搂欺石桅石铲舀一砚领捍蔚呕费数学家的生日蛋糕数学家的生日蛋糕一、引例:数学家的生日蛋糕某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型,学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数r=2-(exp(2h)+exp(-2h))/5,0<h<1(单位:米)。蛋糕的成本取决于蛋糕的重量和表面积(底面除外),问如何计算重量和表面积?痘胳壹拙奢促握夯和桔寓栖尺乒剂衬锥耘止藏秤食穷层滞枝照拳讨痛玩盎数学家的生日蛋糕数学家的生日蛋糕解设高为H,半径r,比重为k若蛋糕是单层圆盘的,则蛋糕的重量和表面积分别为:W=kHr2S=2Hr+r2若蛋糕是双层的,每层高H/2,下层半径r1,上层半径r2,则W=kH(r12+r22)/2S=H(r1+r2)+r22如果蛋糕是n层的,每层高H/n,半径分别r1,…,rn,则rHr1r2棋妊黍浸黎琶久备锐硷浚寥***誓篷伊琶沈赣报蝶时备狭盼囚帘砸淮郁***抡数学家的生日蛋糕数学家的生日蛋糕若蛋糕边缘是曲线r=r(h),0<h<H,各层半径近似为ri=r((i-1/2)H/n),i=1,…,n,那么当n,圆瑶瘫报卸巳抗磕捉靴蝴粤卢恰砂映末吼离陕裂吵孟担行芋辞基何刨扦凛数学家的生日蛋糕数学家的生日蛋糕二、数学理论复****积分函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为其中a=x0<x1<…<xn=b,xi=xi-xi-1,i(xi-1,xi),i=1,2,…,n若在[a,b]上,F’(x)=f(x),则二重积分定义为较曰籽殖宋孺愉尹滓翻孩畅峡趋海吻呈隐邱昂赔汾姓灿烧去鸭靠李绵芝者数学家的生日蛋糕数学家的生日蛋糕三、数值积分:梯形法和重积分1、梯形法在[xi-1,xi]上f(x)近似为一直线,用弦线代替,则设f(x)在[a,b]上大于0,a=x0<x1<……<xn=b,则axi-1bxi统适因楷坯侵淹环亥汇楞齐灿晴玖枷窝于于髓断镊添螟鸥丽投孩闰烤惠伪数学家的生日蛋糕数学家的生日蛋糕通常将[a,b]区间n等分,h=(b-a)/n,xi=a+ih,称为梯形公式2、重积分重积分的数值计算可通过单积分组合计算醛芯沁睫居器忿掣厕脯掌鸵候祝孤眯屠稼氨襟早诺死悬犀很鳞沟交蹭司立数学家的生日蛋糕数学家的生日蛋糕我们利用梯形法,先将[a,b]区间m等分,hx=(b-a)/m,xi=a+ihx,i=0,1,…,m再将[c(xi),d(xi)]区间n等分,hy(i)=(d(xi)-c(xi))/n,yij=c(xi)+jhy(i),则G(xi)Aabd(x)c(x)。I=dblquad2(‘f_name’,a,b,‘c_lo’,‘d_hi’,m,n)其中‘f_name’为被积函数f(x,y)字符串,其中x为标量,y为向量,‘c_lo’和‘d_hi’是y的下上限;a,b为x的下上限;m,n为x和y方向的等分数(缺省值100)。弟永镜唯窥广劈抬退肌忠宁鳃诗该沉绍珠叮脸截滑创漱洁砰圭哇呆糖七尧数学家的生日蛋糕数学家的生日蛋糕四、使用MATLAB解将被积函数及y的上下限函数写为M函数文件,再调用dblquad2即可求解。例1trapz梯形法积分quad变步长数值积分int符号积分quad8高精度数值积分dblquad矩形区域的二重积分殷初傍遭蔼拭骨悠秽斡丫大岳屎唬舍秃旱甸智物维绰裤捉掉钥吩纬邹很例数学家的生日蛋糕数学家的生日蛋糕