文档介绍：:..第五章****题第一部分01-,证明span(M)是包含M的最小线性子空间.[证明]显然span(M),(M)的定义,町宜接验证span(M)^(M),证明conv(B)={£°曲|。注0,£毎=n为自然数}・1=1/=![证明]设1=1eij>0, = n为自然数}・首先容易看;Il4为1=1包含B的凸集,设F也是包含B的凸集,则显然有AoF,[a,b]上的多项式全体P[a,b]是无限维线性空间,而E={1,t,t2,tn,...}是它的一个基底.[证明]首先可以直接证明P[a,h]按通常的函数加法和数乘构成线性空间,而P[a,,Ci,C2,…,c加是in+1个实数,其中cm^0,m>=0,由代数学基本定理知Co=C]=C2=...=5=0,n-0所以E中任意有限个元素线性无关,故P[a,b]是无限维线性空间,而E是它的一个基底。=(XbX2)G2,定义||兀111=IX\I+I兀2I,IIxlb=(兀/+疋2)血,||x||oo=max{|x!I,|x2|}・证明它们都是?中的范数,并画岀各自单位球的图形.[证明]证明是直接的,,L为它的线性子空间。证明cl(L)也是X的线性子空间.[证明]Vx,>gc1(L),Vae,存在厶中的序列{/},{)%}使得兀”x,+y=limxn+limyfl=lim+y/?)ecl(L),ax=alimxn=lim(axn)ecl(L).所以ci(D是X的线性子空间.[注]这里cl(厶),M为它的闭线性子空间,x^M・证明:L={axo+y\yeM,ae}也是X的闭线性子空间.[证明]若a,bw,y,zeM使得axQ+y=bxo^-z,则(a-b)xG=z-yeM,得到o=y=z;{5xo+%}收敛于X中某点z,则序列{如xo+%},故存在3r>0,使得||心-)4»,\an\=\anI•r•(1/r)<16Z„|•||x0+yn/an||-(l/r)=||anx0+ynII-W所以数列{给}有界,故存在{给}的子列{如伙)}使得外伙)ae・这时yn(k)= Xo+yn)-anXoz-,所以厶闭.[注]在此题的证明过程屮,并未用到“X为完备的”:$中,||。山,||。||2与11。/都是等价范数;匕||。|||与||。||2是等价范数的充要条件是:X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性.[证明]^||x||oo<||x||2<||x||i<211x1100,所以||。|h,||。|,{||x||2|||x||i=1}>0.