文档介绍：第五章****题第一部分01-15
M为线性空间X子集，证实span( M )是包含M最小线性子空间．
[证实] 显然span( M )是X线性子空间．设N是X线性子空间，且M Í N．
则由span( M )定义，可直接验证span( M ) Í N．
所以span( M )是包含M最小线性子空间．
设B为线性空间X子集，证实
conv(B) = {| a i ³ 0, = 1, x iÎB, n为自然数}．
[证实] 设A = {| a i ³ 0, = 1, x iÎB, n为自然数}．首先轻易看出A为包含B凸集，设F也是包含B凸集，则显然有A Í F，故A为包含B最小凸集．
证实[a, b]上多项式全体P[a, b]是无限维线性空间，而E = {1, t, t 2, ..., t n , ...}是它一个基底．
[证实] 首先能够直接证实P[a, b]按通常函数加法和数乘组成线性空间，
而P[a, b]中任一个元素皆可由E中有限个元素线性组合表示．
设c0, c1, c2, ..., cm是m + 1个实数，其中cm ¹ 0，m ³ 1．
若= 0，由代数学基础定理知c0 = c1 = c2 = ... = cm = 0，
所以中任意有限个元素线性无关，
故P[a, b]是无限维线性空间，而E是它一个基底。
在R2中对任意x = (x1, x2)Î R2，定义|| x ||1 = | x1 | + | x2 |，|| x ||2 = (x12 + x22)1/2，|| x ||¥ = max{ | x1 |, | x2 | }．证实它们全部是R2中范数，并画出各自单位球图形．
[证实] 证实是直接，只要逐条验证范数定义中条件即可．单位球图形略．
设X为线性赋范空间，L为它线性子空间。证实cl(L)也是X线性子空间．
[证实] "x, yÎcl(L)，"aÎK，存在L中序列{ xn }, { yn }使得xn ® x，yn ® y．
从而x + y = lim xn + lim yn = lim (xn + yn)Îcl(L)，a x = a lim xn = lim (a xn ) Îcl(L)．
所以cl(L)是X线性子空间．
[注] 这里cl(L)表示子集L闭包．
设X为完备线性赋范空间，M为它闭线性子空间，x0Ï M．证实：
L = { a x0 + y | yÎM, aÎK}也是X闭线性子空间．
[证实] 若a, bÎK，y, zÎ M使得a x0 + y = b x0 + z，
则(a - b) x0 = z - y Î M，得到a = b，y = z；即L中元素表示是唯一．
若L中序列{ an x0 + yn }收敛于X中某点z，则序列{ an x0 + yn }为有界序列．
因为M闭，x0Ï M，故存在$r > 0，使得|| x0 - y || ³ r，"y Î M．则当an ¹ 0时有
| an | = | an | · r · (1/r) £ | an | · || x0 + yn/an || · (1/ r) = || an x0 + yn || · (1/r)，
所以数列{ an }有界，故存在{ an }子列{ an(k) }使得an(k)