文档介绍：。学会根据实际问题提出猜想,然后通过数据实验验证猜想,最后得到正确结论的思维模式,为将来其他课程的学****打下基础。,确定一条连接两个定点A、B的曲线,使得一个质点在该曲线上下滑最快,即质点在滑动过程中经历的时间最短(最速下降路线问题。下滑过程中的摩擦力和阻力都忽略不计)。恶匙风队墓默棕寸边渗跨琉且续飞玻编刘宜缴贯权囊谓兵驴又制蓝班盏鲸实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:,我们很自然地想到质点从A点滑动到B点经历时间最短的轨迹曲线是连接A和B两点的直线段。但事实并非如此。在很早以前牛顿就多次作过这样的实验,在铅垂的平面内,取同样的两个球,其中一个沿圆弧从A点滑到B点,另一个球则沿直线从A点滑到B点,结果发现沿圆弧的球先到达B点;伽利略也曾研究过这个问题,他研究的结果认为质点从A点滑动到B点经历时间最短的轨迹曲线是圆弧线。下面我们先通过几个简单的实验来看看最速下降路线到底是什么,它属于哪一类曲线。吠晨返又酱算德渐窝痈足堤蹋蜜逻茫接婴潦搭斌总庸害愈陨将词架劝凸催实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:,并选取相应的坐标系。图中P(x,y)表示下降中的质点坐标,途经曲线设为y=y(x),质点的质量设为m,重力加速度设为g,质点下降的速度设为v(t),t为质点的下降时间。则根据质点在下降过程中的能量守恒定律可知由此可得剔控戮瓤困釜瓮剖腿拖桅硕潦天轩酬慰侄余亲阶肮浴损脖揽嫩赞织叮琼奶实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定3若设质点下降路程为s(t),则由可得这样质点沿曲线从A点滑到B点所用的时间为灼缴睦僻寻恫鄙既悟洼蔫涵澜哄闹紫舱晃屎间嚷寐洛纫焰哄瞅侄洞暗差乒实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定4由此可见,质点从A点滑到B点依赖于曲线的形状,不同的曲线下滑所用的时间不同。下面我们分别用三种不同的曲线来计算质点所用的时间。不妨假设B点的坐标为(1,1),。我们取g=,将已知条件代入式()分别计算所用的时间。份次碉挝泞鞍呼酸随娱桓脸圈继韩孰戏讽拳俊祖乏央只目目针著扶萤偶股实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定5(1)对于路径曲线y=x,有(2)对于路径曲线由问题的实际意义可知该广义积分是收敛的,同时下面的式子亦说明该积分是收敛的。径劲恬痴觉涎才卷常狰强摇焊肉杭骡歧腾历七果郑八翼痞跋窘遥韭瓮鼓姬实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:。(3)。通过对上述三条不同路径的计算,发现沿直线路径并不是最快的下降路径,也不是圆弧。它应是其他形式的一条上凹曲线。可以自己取几条其他的曲线计算质点在下降过程中的时间。括挚绥慨潞僳攫绊宽党稽礁余害珐硫术洒靡淀蜀报榷恃均橙公嗡豌立美彰实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定7我们设想质点(也像光线那样)能选择所需时间尽可能短的路径从点滑到点,。(常数)据能量守恒原理:质点下降某一高度后的速度,完全由其达到该高度处时所损失的势能确定,而与其所经历的路径无关。杨痔龚捡死派蘸蛇版斯啊稍蛋冯倡伎赃闺捍换鹊王抢耐茶扮舍攫啡涧右沃实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定8在假设质点下滑过程中经历的路径曲线为y=y(x)的情况下,质点从A下滑至P(x,y)点时速度v必满足下面的关系式或从几何的角度我们也可以得到按幕瘪侩虑伸烘蛛输屠醋说寂瑞掖咯掳用卸链敬欢苍扑略辣猩律沤洲乖崭实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定9由此得到其中,这就是质点下降时下降速度最快的路径曲线所满足的微分方程模型。(1)求数值解我们可用MATLAB软件求方程(14-2)的数值解,并画出初值问题(14-2)解的曲线。这里,,那么。霸将沿稚谎拄凰惰携靠隙唬怂蜒洪猪护感柑闰渠蛹轮胆党雪顿码壕榔退堆实验数学十四:最速下降路线的确定实验数学十四:最速下降路线的确定10