文档介绍：最优控制原理
目录(1/1)
目录
最优控制概述
变分法
变分法在最优控制中的应用
极大值原理
线性二次型最优控制
动态规划与离散系统最优控制
Matlab问题
本章小结
线性二次型最优控制(1/12)
线性二次型最优控制
对于最优控制问题,极大值原理很好地描述了动态系统的最优控制解的存在性。
但对于复杂的控制问题,如非线性系统的控制问题、系统模型与性能指标函数对控制量u(t)不为连续可微的控制问题,在确定最优控制规律时存在不少困难,如
非线性常微分方程求解、
最优控制的非平凡性问题,
而且带来闭环控制系统工程实现时困难性,难以得到统一、简洁的最优控制规律的表达式。
线性二次型最优控制(2/12)
对于线性系统,若取状态变量x(t)和控制变量u(t)的二次型函数的积分作为性能指标泛函,这种动态系统的最优控制问题称为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题,简称为线性二次型问题。
该类问题的优点是能得到最优控制解u*(t)的统一解析表达形式和一个简单的且易于工程实现的最优状态反馈律。
因此,线性二次型问题对于从事自动控制研究的理论工作者和工程技术人员都具有很大吸引力。
近40年来,人们对各种最优状态反馈控制系统的结构、性质以及设计方法进行了多方面的研究,并且有许多成功的应用。
线性二次型最优控制(3/12)
线性二次型问题是最优控制理论中发展最为成熟、最有系统性、应用最为广泛和深入的分支。
本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一性和最优控制解的充分必要条件。
线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。
线性二次型最优控制(4/12)
线性二次型最优控制问题设线性时变系统的状态方程和输出量测方程为
式中,x(t)是n维状态向量,u(t)是r维控制向量,y(t)是m维输出向量。
A(t)、B(t)和C(t)分别是n×n、n×r和m×n维的分段连续的时变矩阵。
假定系统的维数满足0<mrn,且u(t)不受约束。
用z(t)表示预期的输出,它为m维向量,则定义输出误差向量如下
e(t)=z(t)-y(t)
线性二次型最优控制(5/12)
控制的目标是寻找最优控制函数u*(t),使下列二次型性能指标泛函为最小
式中,F为m×m维非负定的常数矩阵;
Q(t)为m×m维时变的分段连续的非负定矩阵;
R(t)为r×r维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩阵存在并有界;
末态时刻tf是固定的。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论:
1) 性能指标泛函J[u(·)]中的第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端代价函数。
非负定的常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量的要求不同、重要性不同。
若矩阵F的第i行第i列元素值较大,代表二次项的重要性较大,对其精度要求较高。
线性二次型最优控制(7/12)
2) 性能指标泛函J[u(·)]中的被积函数中的第1项e(t)Q(t)e(t),表示在系统工作过程中对控制误差向量e(t)的要求和限制。
由于时变的加权矩阵Q(t)为非负定的,故该项函数值总是为非负的。
一般情况下,e(t)越大,该项函数值越大,其在整个性能指标泛函所占的份量就越大。
因此,对性能指标泛函求极小化体现了对误差向量e(t)的大小的约束和限制。
在e(t)为标量函数时,该项可取为e2(t),于是该项与经典控制理论中判别系统性能的误差平方积分指标一致。
线性二次型最优控制(8/12)
非负定的时变矩阵Q(t)为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对相应的误差向量e(t)的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。
时变矩阵Q(t)的不同选择,对闭环最优控制系统的性能的影响较大。